Tuyển tập bài toán Hình học 9 hay

1. Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khác điểm A).

a, Xác định vị trí của 2 đường tròn tâm O và tâm I. b, Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng. c, Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD ). Chứng minh: và DO DK DA DM . .  KN CM // d, Chứng minh: tổng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm I. AN AM  Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. 1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. 2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều

kiện gì thì biểu thức . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị 6 6 sin cos P     nhỏ nhất đó.

3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .

3

3 BE CE BF DF 

Câu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2

  ) N K ( K Kn 2 n K n 1 n n * 2 2 4 2 2 3 4         

0 1 K ) k 2 n ( n 1 K Kn 2 n 2 2 2 2 3          Mà hoặc 1 K n 1 K 2 2 2    1 K n 2 2   Nếu 2 n 0 ) 2 n ( n 1 K 1 K 2 2         Thử lại ( thỏa mãn) 2 3 4 5 1 2 2    Khi K n K n 1 K K 1 2 2 2        mâu thuẫn với điều kiện (1đ)  0 k 2 n     0 1 K K 2 n n 2 2     Vậy n = 2 Bài 4 ( 5 điểm )

Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với  B (O) và C (O’)   1. Chứng minh OM // O’N.

ThuVienDeThi.com

2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui. 3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 5 ( 3 điểm )

1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

r

r R hc mc hb mb ha ma    

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1 Bài 4: 1. => OM //O’N ' 1 1 O O

 

 ) ˆ 2 180 ( 1 0 A   2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’

Có : R R OM

N O PO PO ' ' '  

Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’

Do OB // O’C => R R OB

C O O P

O P ' ' '

' '  

=> P = P’ -> đpcm 3. MNO’C là hình thang có

S =     2

' ' 2

' ' 2

' 2

' '

2 R R OO R R H O R R H O N O OM         

Dấu “ = “ xảy ra  H O  OM OO’ và O’N OO’   

Vậy Max S =   2

'

2 R R 

Bài 5: 1.

ThuVienDeThi.com

Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC A1 , B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Có : AA1 = ma ≤ R + OA1 đẳng thức xảy ra  AB = AC BB1 = mb ≤ R + OB1 đẳng thức xảy ra  AB = BC CC1 = mc ≤ R + OC1 đẳng thức xảy ra  AC = BC

=> (1)  

  

     

  

     

c b a c b a c

c

b

b

a

a

h OC h OB h OA h h h R h m h m h m 1 1 1 1 1 1

Có 2S = ( a + b + c)r ->

c b a h

S h

S h

S c b a r

S 2 2 2 2      

Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) => (2) r h h h c b a

1 1 1 1   

2S = 1 1 1 1 1 1

2 2 2 . . . OC h

S OB h

S OA h

S OC c OB b OA a

c b a

       

= => (3)  

  

  

c b a h OC h OB h OA S 1 1 1 2 1 1 1 1   

c b a h OC h OB h OA

Từ (1),(2),(3) => r

r R h m h m h m

c

c

b

b

a

a    

Dấu đẳng thức xảy ra  ∆ABC đều

2. Theo đề bài có : a + b2 = K(a2b – 1) ( K є N* )  a + K = b( Ka2 – b )  a + K = mb (1) Với Ka2 – b = m ( m є N*) -> m + b = Ka2 (2) Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1 = a + K – Ka2 + 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3) Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3) => K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 )

ThuVienDeThi.com