Một số ứng dụng của bất đẳng thức cô si

1

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI

ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

 1 1 1 9. a b c a b c            *Phân tích: VÕ trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi. Lời giải:

Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và 1 1 1 , , a b c ta có:

3

3

3 1 1 1 1 3

a b c abc

a b c abc

  

  

Nhân từng vÕ của hai bất đẳng thức trên ta được:

(đpcm).  1 1 1 9 a b c a b c            Cách 2:

 1 1 1 3 3 2 2 2 9 b a c a b c a b c a b c a b a c c b                                        

Dấu "=" xảy ra a b c    Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:

a. (a, b, c > 0) 3 a b c b c a   

b.

2 2 2 a b c ab bc ca      Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:

a.

2

2

2 2 1

x

x

  

x R 

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1.

b. > 1. 8 6 1 x

x

   x 

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9.

c.    1 4 a b ab ab    , 0 a b  

áp dụng BĐT Côsi ta có

2

1 2

a b ab

ab ab

 

 Nhân từng vÕ của 2 BĐT trên ta suy được đpcm.

ThuVienDeThi.com

2

Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:

a.     8 a b b c c a abc     , , 0 a b c  

b.       2 2 2 2 2 2 1 1 1 6 a b b c c a abc      

áp dụng BĐT Côsi cho 6 số . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , a a b b b c c c a

Bài toán số 1.4

a. n số dương a1, a2, ..., an. Chứng minh rằng:

1 2

1 2

... 1 1 1

n

n

n

n a a a

a a a

    

b.Nếu a1, a2,...., an dương và a1a2...an = 1 thì a1+ a2 +...+ an n  áp dụng BĐT Côsi cho n số dương trên) Bài toán số 2. Chứng minh bất đẳng Netbit

> 0. 3 2 a b c b c a c a b       , , a b c 

Giải. Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi đó x, y, z > 0 và

, , 2 2 2 y z x x z y x y z a b c         

Ta có:

 

1 2 2 2 2

1 1 3 3 2 2 2 3 . 2 2 2

a b c y z x x z y x y z b c a c a b

x y x z y z y x z x z x

                                      Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z. Cách khác:

   

1 6 2

1 1 1 1 1 3 6 9 6 2 2 2

a b c x y z x y z x y z b c a c a b x y z

x y z x y z

                    

                    

Khai thác bài toán: Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau: với a, b, c dương ta có:

2 .2

9 2 2 2 .1

2 2 2 c b a b a

c a c

b c b

a

c b a b a a c c b

       

       

Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng (1) y x y x    4 1 1

Phân tích:

ThuVienDeThi.com

3

Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.

Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dương x, y:

 

y x y x

y x xy

y x

xy y x

xy y x

   

   

  

 

4 1 1

4 4

2

2

Cách 2. Xét hiệu của 2 vÕ:

(2)       

   

0 0 4 0 4 1 1 1

2

 

   

         

y x xy

y x

y x xy

xy y x x y x y

y x y x

Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng. (đpcm) Khai thác bài toán: Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

trong đó  

  

         c b a c p b p a p

1 1 1 2 1 1 1

2

c b a p   

Bài tập tương tự: Bài 1. Chứng minh rằng:

 

  



 

          

c b a

c b a c a

c a b c

c b b a

b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

         4 2 2

2

2 2

4

2 2

4

2 2

4 d c b a

a d a d

d

d c d c

c

c b c b

b

b a b a

a               

Bài 3. Cho . Chứng minh rằng: 1 , , 0   c b a

a c c b b a c b a 2 2 2 2 2 2 1       Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:

           c b a ab

c ac

b bc

a 1 1 1 2

Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

x z y z y

x     4

2

Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:

ThuVienDeThi.com