Hướng dẫn giải 30 bài về số chính phương

1

HD GI ẢI 30 B ÀI VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số

nguyên.

2. TÍNH CHẤT:

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể

có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. (cách nhớ: 2+ 8 = 3 + 7 = 10)

- Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

- Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

- Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số

nguyên tố với số mũ chẵn.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số

chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N). 

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số

chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N). 

5. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

 Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.

ThuVienDeThi.com

2

HD: Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì 

A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z      

 Vậy A là số chính phương.

 Bài 2:

Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

HD: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có 

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 

= (n2 + 3n + 1)2

Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính  

phương.

 Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .

HD: Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1

4 1

= k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1

4 1

S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 + .2.3.4.5 - .1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3)  4 1

4 1

4 1

4 1

4 1

- k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 4 1

4 1

Theo kết quả bài 2 “tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1”

k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương. 

 Bài 4:

Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

ThuVienDeThi.com

3

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó.

Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

HD:

Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1

= 4. . 10n + 8. + 1 9

1 10  n

9

1 10  n

= = 9

9 8 10 .8 10 .4 10 .4 2     n n n

9

1 10 .4 10 .4 2   n n

=  

  

  3

1 10 .2 n

Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0

Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.   

  

  3

1 10 .2 n 

 Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:

A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6

C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8

Kết quả: A = ; B = ; C =  

  

  3

2 10n

 

  

  3

8 10n

 

  

  3

7 10 .2 n

 Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:

2

2

2 2 2

ThuVienDeThi.com