Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc

Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc

Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Đối với học sinh phổ thông, kỹ năng làm toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán cụ thể.

Việc lựa chọn được một cách giải hợp lý , ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn khác nhau của toán học trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán đặt ra. Trong việc học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp cũng như công cụ của lĩnh vực này, của phân môn này, để giải quyết vấn đề cho lĩnh vực khác hay phân môn khác đôi khi khá hiệu quả. Hơn nữa, việc làm này giúp cho người học hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể.

Trong bài viết này, chúng tôi xin được bàn đến một vấn đề xưa như trái đất: Hằng đẳng thức, và việc vận dụng chúng vào giải toán như thế nào?

Trước hết, xin bắt đầu từ một số bài toán cơ bản Bài toán 1. Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Xét các số thực xác , , a b c 1 abc  , , x y z

định như sau (1) 1 1 1 , và x a y b z c a b c      

Chứng minh rằng (2) 2 2 2 4 x y z xyz    

Lời giải. Ta có

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2

xyz a b c a b c a b c a b c

x y z

                                        

      

Suy ra điều phải chứng minh. Vấn đề đặt ra, với bất kỳ ba số thực thỏa mãn (2), có hay không các số thực , , x y z thỏa mãn (1)? , , : 1 a b c abc 

Câu trả lời ở đây là không, chẳng hạn thỏa mãn (2), nhưng không có 1 x y z   nào thỏa mãn (1). Và vì vậy, cần thêm điều kiện đối với , , a b c , , x y z

Bài toán 1’. Cho thỏa mãn (2). Chứng minh rằng tồn tại   , , : max , , 2 x y z x y z   A

các số thực thỏa mãn (1). , , : 1 a b c abc 

Lời giải.

Không mất tính tổng quát, coi . Khi đó, tồn tại sao cho . Viết lại 2 x  * uA 1 x u u  

(2) về dạng . Coi đây là phương trình bậc hai của biến Vì 2 2 2 4 0 z xy z x y      .z

phương trình luôn có nghiệm nên suy ra . Do đó, tồn tại    2 2 4 4 0 x y     2 y 

sao cho * vA 1 y v v  

ThuVienDeThi.com

Và khi đó, phương trình có nghiệm hoặc hoặc u v z v u   1 z uv uv  

Vậy, nếu , thì chọn , nếu thì chọn u v z v u     1 ; ; ; ; v a b c u v u      

1 z uv uv  

. Bài toán được giải quyết.   1 ; ; ; ; a b c u v uv       Bài toán 2. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại các số , , 0 x y z  2 xyz x y z    

thực dương sao cho , , a b c , , b c c a a b x y z a b c      

Lời giải. Viết lại điều kiện về dạng 2 xyz x y z     1 1 1 1 1 1 1 x y z      

Đặt , ta thấy và . 1 1 1 , , 1 1 1 a b c x y z       , , 0 a b c  1 a b c   

Hơn nữa, từ cách xác định suy ra a 1 a b c x a a    

Tương tự, cũng có (ĐPCM) , c a a b y z b c    

Bài toán 2’. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại , , 0 x y z  2 1 xy yz zx xyz    

các số thực dương sao cho , , a b c , , a b c x y z b c c a a b      

Bài toán 3. Cho (3) 2 2 2 , , 0: 2 1 x y z x y z xyz     

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nhọn sao cho ABC cos , cos , cos x A y B z C   

Lời giải. Từ giả thiết suy ra . Từ đó, để ý rằng hàm số là hàm số , , 1 x y z  cos y x 

chẵn, suy ra tồn tại các góc nhọn sao cho . Khi đó , , A B C cos , cos , cos x A y B z C    (3) trở thành

    

2

2

1 cos2 1 cos2 cos 2cos cos cos 1 2 2 cos cos( ) cos( ) cos cos( )cos( ) 0

cos cos( ) cos cos( ) 0

B C A A B C

A B C B C A B C B C

A B C A B C

     

         

     

Từ đó, do nhọn, nên thu được và do đó . Bài , , A B c cos cos( ) A B C   A B C     toán được giải quyết. Từ bài toán này, ta thu được kết quả “Các số thực thỏa mãn (3) khi và chỉ khi , , 0 x y z  tồn tại tam giác nhọn sao cho ” ABC cos , cos , cos x A y B z C   

Và sau đây chúng ta sẽ xem xét đến ứng dụng của kết quả các …