Chuyên đề Đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề BDHSG Toán 9 " Đổi biến trong chứng minh BĐT"

Giáo viên: Lê Hồng Quân Trường THCS Yên Lạc 1

CHUYÊN ĐỀ: ĐỔI BIẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tác giả chuyên đề: Lê Hồng Quân

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Lạc

Huyện Yên Lạc -Tỉnh Vĩnh Phúc

Đối tượng: Học sinh lớp 9

Thời lượng: 12 tiết

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách

lôgic và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác. Toán học

còn là một môn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thông. Nó giúp học

sinh phát triển tư duy logic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm

chất đạo đức, hơn nữa môn toán là một môn học công cụ nên việc học tốt môn

toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác. Tuy nhiên môn toán cũng là môn

học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn khi học toán,

song không vì vậy mà toán học thiếu đi sự hấp dẫn đối với người học.

Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là

phân môn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nhưng đây cũng là

phần rất khó của bộ môn Toán.

Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càng

được quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị

nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh

giỏi, học sinh có năng khiếu học toán. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng

thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó.

Tuy nhiên cái khó ở đây không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề BDHSG Toán 9 " Đổi biến trong chứng minh BĐT"

Giáo viên: Lê Hồng Quân Trường THCS Yên Lạc 2

cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế

người học luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ bản và việc hoàn

thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự.

Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thì bài toán bất đẳng

thức, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất là một bài toán có khả năng rèn luyện cho học sinh

óc phán đoán và tư duy logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giải quyết

dạng toán này.

Đối với học sinh trung học cơ sở, việc chứng minh một bất đẳng thức

thường có rất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa hoặc sử dụng các

bất đẳng thức cổ điển để chứng minh. Tuy nhiên việc sử dụng các bất đẳng thức

cổ điển đó để chứng minh các bài toán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu

học sinh phải biết cách biến đổi một cách hợp lý, thậm chí là phải rất tinh tế. Vì

vậy tôi thiết nghĩ nếu các em có cái nhìn tinh tế và logich thì bằng việc đổi biến

thích hợp lại là cách làm hữu hiệu và thiết thực nhằm tìm ra các cách chứng minh

hay và đầy bất ngờ. Vì vậy tôi đã viết chuyên đề; "Đổi biến trong chứng minh bất

đẳng thức" qua đó giúp các em có thêm những sáng tạo cũng như công cụ hữu

hiệu khi đứng trước những bài chứng minh BĐT .

II. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

Đối với từng dạng toán ta sẽ có những cách đổi biến thích hợp

Dạng 1: Dự đoán được điều kiện xảy ra dấu bằng:

Ví dụ 1 : Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.

Chứng minh rằng 3 1 2 2 2    c b a

*Nhận xét: Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1/3

Đặt a = x + 1/3, b = y + 1/3, c = z + 1/3

Từ a + b + c = 1suy ra x + y + z = 0

Khi đó 3 1 2 2 2    c b a

ThuVienDeThi.com