Giải hệ phương trình không mẫu mực bằng phương pháp thế

1

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Giáo viên: Nguyễn Duy Hoàng.

Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương.

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9.

Phương pháp thế là một trong những phương pháp có ứng dụng nhiều trong việc tính giá trị biểu thức, chứng minh, giải phương trình, hệ phương trình, …

Đặc biệt đối với giải hệ phương trình không mẫu mực thì phương pháp thế là

phương pháp được sử dụng linh hoạt, có hiệu quả. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp thế cần lưu ý rằng phương trình thu được phải các phương trình giải được.

Phương pháp thế gồm: Phép thế đơn; Phép thế nhóm; Phép thế hằng số.

1. Phép thế đơn:

a) Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại.

b) Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.

* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với tất cả các ẩn thì rút tùy ý một ẩn để thay vào phương trình còn lại.

Bài 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 3 5 (1)

3 2 4 (2)

x y

x y y

       

Lời giải.

Từ (1) ta có 5 3 2

y x   thế vào (2) ta được

2

2 5 3 3 2 4 0 2

y y y          

2 2 2 59 3(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1, 23 y y y y y y y y             

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là   31 59 1;1 ; ; 23 23             

ThuVienDeThi.com

2

* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với một ẩn thì rút ẩn đó để thay

vào phương trình còn lại. Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay vào không phải bậc nhất.

Bài 2. Giải hệ phương trình

3 2

2 3 (6 ) 2 0 (1)

3 (2)

         

x y x xy

x x y

Lời giải.

Phương trình (2) là bậc nhất với y nên từ (2) suy ra 2 3 y x x   thay vào phương

trình (1) ta được 3 2 2 2 3 (6 3) 2 ( 3) 0          x x x x x x x

4 3 2

3 2

2

4 7 6 0

( 4 7 6) 0

( 2)( 2 3) 0 (*)

    

    

    

x x x x

x x x x

x x x x

Vì 2 2 2 3 ( 1) 2 0       x x x mọi x nên phương trình (*) có nghiệm   0; 2   x

Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình là (0; 3); ( 2;9)  

Bài 3. Giải hệ phương trình

4 3 2 2

2

2 2 9 (1)

2 6 6 (2)

x x y x y x

x xy x

         

Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.

Lời giải.

TH 1: Với x = 0 không thỏa mãn (2)

TH 2: Với

2 6 6 0, (2) 2 x x x y x      , thế vào (1) ta được

2 2 2 4 3 2 6 6 6 6 2 2 9 2 2 x x x x x x x x x x                    

2 2 4 2 2 3 0 (6 6 ) (6 6 ) 2 9 ( 4) 0 4 4

x x x x x x x x x x x

               

Do 0 x  nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 17 4; 4       

Bài 4. Giải hệ phương trình        

2 2

2 x y xy 3 (1) xy 3x 4 (2)

.

ThuVienDeThi.com

3

Lời giải.

Tõ (2)  x  0,

2 4 3x y x   , thay vào (1) ta có:

2 2 2 2 4 3x 4 3x x x. 3 x x           



4 2 7x 23x 16 0    . Giải ra ta được

2 2 16 x 1 hoÆc x = 7 

Tõ

2 x 1 x 1 y 1    ;

Tõ

2 16 4 7 5 7 x x y 7 7 7     

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);

        

4 7 5 7 ; 7 7 ;

        

4 7 5 7 ; 7 7

Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:

1)

1

1 (1 ) 2

x y

x y xy

     

2) 2 2

1 0

0

x y

x y x

       

3) 2 4

( 1) 4( 2)

x y

x y xy y

        

4) 2 2 2 5

7

x y

x xy y

       

5) 2 2 2 4

3 2 5 4 0

x y

x xy y x y

          

6) 2 9

4 9

x y

x y

     

7) 2

12

x y xy

x y

     

8)

2 2 4 3 1

1

x xy y x

x y

       

9)

1 1

2 2 2

x y

x y y

   

    

10) 10 3 3 58

6

xy x y

x y

      

11) 2 2 2 1 0

2 3 2 2 0

x y

x y x y

         

12)

3 2

2 3 (5 ) 2 2 0

4

x y x xy x

x x y

          

13)

3 2 2 2

2 2 3 (6 ) 2 0

3

x y x xy

x x y

         

ThuVienDeThi.com