Một số bài Toán hình hay

1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N.

Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.

b) MN // DE . c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi 2) Cho tam giác ABC biết góc ABC bằng 450, góc ACB bằng 600 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng R . Tính diện tích tam giác ABC theo R 3)Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F. a. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp. b. Gọi K là trung điểm của FE. Chứng minh rằng AK vuông góc với MN

4) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A

(A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là

trung điểm của BC.

1)Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc . AMIN

2)Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . 2 1 1 AK AB AC  

3)Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị

trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành

1)Theo giả thiết 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO A A A 0 AMO ANO AIO 90    

(Góc nội tiếp cùng chắn một cung) A A A A , AIN AMN AIM ANM   

cân tại A AM AN AMN   A A AMN ANM  

đpcm A A AIN AIM   

2) 2 1 1 2 . ( ) . . AB AC AK AB AC AB AC AK AI AK AB AC       

(Do ) 2 AB AC AI  

đồng dạng với ABN  2 . ANC AB AC AN   

đồng dạng với AHK  . . AIO AK AI AH AO    Tam giác vuông tại M có đường cao MH AMO  2 . AH AO AM  

. Do 2 . AK AI AM   . . AN AM AB AC AK AI   

3) Ta có , , / / AN NO MP NO M AN AN MP     Do đó AMPN là hình bình hành 2 AN MP x   

ThuVienDeThi.com

Tam giác đồng dạng với ANO 

2 2 AN NO x NEM NE NE EM R     

TH 1.

2

2 2 2 2 2 2 2 2 x NE NO OE R R x x R R R x R          

Đặt . 2 2 2 2 2 , 0 R x t t x R t      

PTTT 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 t R R t R Rt t Rt R t R

          

Do (Loại) 2 2 0 0 t t R R x R x A B         

TH 2.

2

2 2 2 2 2 2 2 2 x NE NO OE R R x x R R R x R          

Đặt . 2 2 2 2 2 , 0 R x t t x R t      

PTTT 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 t R R t R Rt t Rt R t R           

Do 2 2 3 0 2 2 2 2 R t t R R x R x AO R          

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hình bình hành

5) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của cạnh ABC O ( ) M BC

và là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua N M O A AN vuông góc với tại . Kẻ đường kính . Chứng minh rằng: B BC D AE a)Chứng minh BA BC BD BE  . 2 . b) đi qua trung điểm của đường cao của tam giác CD AH ABC

a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE

Ta có: , A A DBA ABC   0 90 A A EBM ABC   0 90 (1) A A DBA EBM   Ta có: (c-g-c) ONA OME   A A EAN MEO   Ta lại có: , A A A DAB BAE EAN    0 90 và A A A BEM BAE MEO    0 90 (2) A A DAB BEM   Từ (1) và (2) suy ra (g-g) BDA BME   #

. . . BD BA BC BD BE BA BM BA BM BE      2 . . BD BE BA BC   2 b)CD đi qua trung điểm của đường cao AH của  ABC

Gọi là giao của và . F BD CA Ta có (cmt) . . BD BE BA BM 

ThuVienDeThi.com