Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn

A. Lời đầu

Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một sốkĩ năng đặt ẩn phụtrong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷmà ta biến đổi tương đương sẽra một phương trình phức tạp, có thểlà bậc quá cao. ..Có lẽphương pháp hữu hiệu nhất đểgiải quyết vấn đềnày chính là đặt ẩn phụđểchuyển vềmột phương trình đơn giản và dễgiải quyết hơn. Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này: - Đặt ẩn phụvà gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu vềphương trình có biến là ẩn phụTiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này. Đối chiếu với điều kiện đểchọn ẩn phụthích hợp. - Giải phương trình cho bởi ẩn phụvừa tìm được và kết luận nghiệm * Nhận xét: - Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ởbước đầu tiên. Lí do là nó quyết định đến toàn bộlời giải hay, dở, ngắn hay dài của bài toán. - Có 4 phương pháp đặt ẩn phụmà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là: + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụkhông triệt để + PP dùng ẩn phụđưa vềdạng tích + PP dùng ẩn phụđưa vềhệ

B. Nội dung phương pháp

I. Phương pháp lượng giác hoá

1. Nếu |x| ≤a thì ta có thểđặt x = a sint, t ∈ ³ −π

2 ; π

2

´ hoặc x = a cost, t ∈(0;π)

Ví dụ1. Giải phương trình: p

1+ p

1−x2 = x ³ 1+2 p

1−x2 ´

Lời giải: ĐK : |x| ≤1. Đặt x = sint, t ∈ ³ −π

2 ; π

2

´ . Phương trình đã cho trởthành :

p

1+cost = sint (1+2cost) ⇔ p

2cos t

2 = 2sin 3t

2 cos t

2 ⇔cos t

2

µp

2sin 3t

2 −1 ¶ = 0

⇔



 cos t

2 = 0

cos 3t

2 = 1 p

2

⇔



 t = (2k +1)π

t = π

6 +k 4π

3

(k ∈Z)

1

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

Kết hợp với điều kiện của t suy ra : t = π

6 Vậy phương trình có 1 nghiệm : x = sin π

6 = 1

2

Ví dụ2. Giải phương trình: p

1+ p

1−x2 hp

(1+ x)3 − p

(1−x)3i = 2 p

3 +

s

1−x2

3 Lời giải: ĐK : |x| ≤1 Khi đó V P > 0. Nếu x ∈[−1;0] thì p

(1+ x)3 − p

(1−x)3 ≤0 Nếu x ∈[0;1] thì đặt x = cost , với t ∈ h 0; π

2

i ta có :

2 p

6 µ sin t

2 +cos t

2

¶µ cos3 t

2 −sin3 t

2

¶ = 2+sint

⇔2 p

6cost µ 1+ 1

2 sint ¶ = 2+sint ⇔ ³p

6cost −1 ´ .(2+sint) = 0 ⇔cost = 1 p

6

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 p

6

Ví dụ3. Giải phương trình: p

1−2x + p

1+2x =

r

1−2x 1+2x +

r

1+2x 1−2x Lời giải:

ĐK : |x| ≤1

2 Đặt 2x = cost,t ∈(0;π). Phương trình đã cho trởthành : µ sin t

2 +cos t

2

¶p

2 = tan t

2 +cot t

2

⇔2(1+sint) = 4

sin2 t ⇔sin3 t +sin2 t −2 = 0 ⇔cost = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Ví dụ4. Giải phương trình: x3 −3x = p

x +2 (1) (THTT)

Hướng dẫn: Nếu x < −2 : phương trình không xác định . Chú ý với x > 2 ta có :

x3 −3x = x + x ¡ x2 −4 ¢ > x > p

x +2

vậy đểgiải phương trình (1) ta chỉcần xét với x ∈[−2;2] Đặt x = 2cost,t ∈(0;π) khi đó phương trình đã cho trởthành :

cos3t = cos t

2

2. Nếu |x| ≥a thì ta có thểđặt: x = a sint ,t ∈ ³ −π

2 ; π

2

´ ,t ̸= 0 hoặc x = a cost ,t ∈(0;π),t ̸= π

2

Ví dụ5. Giải phương trình: x2 µ 2− 1 p

x2 −1

¶ = 2

Lời giải:

2

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com