Hướng dẫn chứng minh Bất đẳng thức (lớp 9)

1

HD chứng minh BÂT ĐẲNG THƯC (lớp 9)

(Gồm 20 bài hay gặp, bài khó có dấu “”)

A.- Dựa vào các hằng đẳng thức (HĐT)

 Bài A1/ Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Giải

a) Ta có HĐT: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab [1]

(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab [1’]

Cộng từng vế [1] & [1’]: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2).

Biết luôn có (a – b)2 ≥ 0.  nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).

b) Áp dụng H Đ T [1] & [1’] có

[(a + b) + c]2 = (a + b)2 + c2 + 2c(a + b)

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

(a –c)2 = a2 + c2 – 2ac

(b – c)2 = c2 + b2 – 2bc

Công 4 vế phải của 4 đẳng thưc trên, ta có: 3(a2 + b2 + c2).

Mà biểu thức tổng này chính bằng vế trái BĐT cộng 3 hạng thức dương

 Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

 Bài A.2

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Giải

a) Xét hiệu “vế trái – vế phải” :

(a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.

Theo tinh chất của B ĐT: A  B  A – B  0 thì B ĐT (a) đã được CM

b) Từ B ĐT (a) có : (a + 1)2 ≥ 4a ;

(b + 1)2 ≥ 4b ;

ThuVienDeThi.com

2

(c + 1)2 ≥ 4c

và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên :

[(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.

 Bài A.3

Chứng minh: (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

H D: Đây là B ĐT tổng quát; Chứng minh tương tự ý (b) Bài 1 với n sô hạng trong

ngoặc

  Bài A.4 Cho các số x và y cùng dấu và  0.

a/ Chứng minh rằng : x y 2 y x  

b/ Chứng minh B ĐT :

2 2

2 2 x y x y 0 y x y x                

c/ CMR:

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x                         Giải: Chuyển vế, chứng minh A – B  0.

a/ .

2 2 2 x y x y 2xy (x y) 2 0 y x xy xy        

(Vì x,y cùng dấu nên x.y; x/y; y/x  0 )  Vậy x y 2 y x  

b/ Tương tự ý a/ chuyển vế chứng minh A – B > 0

(ĐPCM)

2 2 2 2

2 2 x y x y x y A B 2 2 1 1 0 y x y x y x                                   

c) Từ câu b suy ra : . Vì (câu a).

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y 0 y x y x                

x y 2 y x  

Do đó :

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x                        

ThuVienDeThi.com

3

 Bài A.5

a/ Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .

2 2

2 2 x y x y 4 3 y x y x          

b/ Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .

2 2 2

2 2 2 x y z x y z y z x y z x     

H D Giải

Câu a/ Đặt .

2 2

2 2 2 x y x y a 2 a y x y x      

Chứng minh tương tự câu a bài 4 có: nên a2 ≥ 4, do đó | a | ≥ 2 (1*).

2 2

2 2 x y 2 y x  

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a

 a2 – 3a + 2 ≥ 0  (a – 1)(a – 2) ≥ 0 (2*)

Từ (1*) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ – 2. Nếu a ≥ 2 thì (2*) đúng.

Nếu a ≤ – 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh.

Câu b/ Bất đẳng thức tương đương với :

2 2 2

2 2 2 x y z x y z y z x y z x     

.   4 2 4 2 4 2 2 2 2

2 2 2 x z y x z x x z y x z y xyz

0 x y z

    



Cần chứng minh tử không âm, tức là :

x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (3*)

Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x  y  z  x nên có thể giả sử x là số

lớn nhất. Xét hai trường hợp :

a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (3*) thành – (x – y + y – z),(3*) tương đương với :

x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0

 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0 (4*)

Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên B ĐT (4*) đúng.

b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (3*) tương đương với :

ThuVienDeThi.com