Chuyên đề 1 Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị

Chuyên đề 1: Vận dụng bất đẳng thức cosi để tìm cực trị.

Chúng ta đã biết với a 0; b 0 thì a + b 2 (1)    ab (dấu “=” xảy ra a = b).  Đó là bất đẳng thức Co-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn được mở rộng đối với n số không âm: với a1,a2,…,an 0 thì  a1 + a2 +…+ an n ( dấu “=” xảy ra a1= a2= …=an). Với hai số  n

n a a a ... 2 1  dương a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra: Nếu ab= k (không đổi) thì min(a+b) = 2 (khi và chỉ khi a = b). k

Nếu a+b = k(không đổi) thì max(ab) = (khi và chỉ khi a = b). 4

2 k

Kết quả trên được mở rộng đối với n số không âm: Nếu a1a2…an = k (không đổi) thì Min(a1+a2+…+an) = n (khi và chỉ khi a1=a2=…=an). n k Nếu a1+a2+…+an = k (không đổi) thì

max(a1a2…an) = (khi và chỉ khi a1=a2=…=an).

n

n k 

    

Vận dụng bất đẳng thức Cosi ta có thể tìm được giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một số biểu thức. Ta hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản.

Thí dụ 1: Cho x>0,y>0 thoã mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 1 1  y x biểu thức A= . y x 

Giải: Vì x>0, y>0 nên .Vận dụng bất đẳng thức Co-si 0 ;0 ;0 1 ;0 1     y x y x

đối với hai số dương và ta được suy ra x 1

y 1

 

  

   y x y x

1 1 2 1 1 1

.4 4 1 1    xy xy Vận dụng bất đẳng thức Co-si đối với hai số dương ta được: y x,

A= (dấu “=” xảy ra 4 4 2 . 2     y x y x ). 4    y x Vậy min A =4 (khi và chỉ khi x=y= 4). Nhận xét về phương pháp giải: Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức cosi theo hai chiều ngược nhau.

Lần thứ nhất ta đã “làm trội” bằng cách vận dụng để dùng y x

1 1

2

b a ab  

điều kiện tổng , từ đó được 2 1 1 1  y x .4  xy

Lần thứ hai ta đã “làm giảm” ttổng ( bằng cách vận dụng bất đẳng thức ) y x  cosi theo chiều a+b 2 để dùng kết quả  ab .4  xy

ThuVienDeThi.com

Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức cosi đối với các số trong đề bài.Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức cosi rồi tìm cực trị của nó. Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó. Thí dụ2: Tìm gia trị lớn nhất của biểu thức: A= . 3 7 5 3 x x   

Giải: ĐKXĐ : . 3 7 3 5  x

A2 = (3x-5) + (7-3x) + 2 ) 3 7 )( 5 3 ( x x   A2 (dấu “=” xảy ra 3x- 5 = 7- 3x x = 2). 4 ) 3 7 5 3 ( 2       x x   Vậy max A2 = 4 maxA=2 (khi và chỉ khi x=2).  Nhận xét về cách giải: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức.Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi(bằng2).Vì vậy,nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần của hai căn thức.Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức cosi: . b a ab   2 Biện pháp hai : Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0.

Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 5

9 x x A  

Giải: ĐKXĐ: x . 9 

30

1 5

3

9 9

5

3 3

9 2 1

5

3. 3

9

5

9 

 

        





   x

x

x

x

x

x

x x A

(dấu bằng xảy ra ).  18 3 3

9     x x

Vậy maxA= (khi và chỉ khi x= 18). 30

1

Nhận xét về cách giải :

Trong cách giải trên, x- 9 được biểu diễn thành và ta đã gặp may măn ë 3. 3

9  x

chỗ khi vận dụng bất đẳng thức cosi, tích được làm trội thành nữa tổng 3. 3

9  x

có dạng kx có thể rút gọn cho x ë dưới mẫu,kết quả là một hằng số. 3 3 3

9 x x   

Con số 3 ë trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9,số 9 này có trong đề bài(bạn đọc tự phân tích). Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.

1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.

Thí dụ 4: Cho x ,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 0  . 16 3

3

4

x x 

Giải: A= 8 16 . . . 4 16 16 3 4

3 3 3        x x x x x x x x x x

ThuVienDeThi.com