Toán 9 - Chuyên đề Hệ thức Vi - Ét và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee

Trang 1

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

1. 2 35 37 2 0 x x    2. 2 7 500 507 0 x x    3. 2 49 50 0 x x   

4. 2 4321 21 4300 0 x x    5. x2 – mx + m – 1= 0 ( m là tham số) 6. ax2 +bx – (a +b ) = 0 ( a, b là tham số; a 0  2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m2 -2 = 0 có 1 nghiệm bằng 1 Tìm m và tìm nghiệm thứ hai 2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = 0 có 2 nghiệm Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia 3. Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0. Biết hiệu hai nghiệm bằng 1 Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình 4. Tìm nghiệm của phương trình:

a) b) 0 19 24 5 2    x x 0 4 ) 5 ( 2      m x m x

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 1 2 ; x x Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là x1 ; x2 thỏa mãn :

1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104

4. x1 = và x2 = 1 2  1 2 

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: Cách 1:

+ Tính trực tiếp bằng cách: Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính 2 1; y y 2 1; x x 2 1; y y

Cách 2:

Không tính mà áp dụng Định lí Vi-et tính sau đó lập phương trình bậc hai có các 2 1; y y 2 1 2 1 ; y y P y y S   

nghiệm là 2 1; y y

Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm là hữu tỉ do đó nên chọn 2 1; x x

Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể: Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình

2 3 5 6 0 x x    có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x . Không giải phương trình, Hãy lập phương

trình bậc hai có các nghiệm 1 1

2

1 y x x   và 2 2

1

1 y x x  

Đáp số: hay . 2 5 1 0 6 2 y y    2 6 5 3 0 y y   

ThuVienDeThi.com

CHUYÊN ĐỀ : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Truong lee

Trang 2

2/ Cho phương trình : 2 5 1 0 x x   có 2 nghiệm 1 2 ; x x . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn

4 1 1 y x  và

4 2 2 y x  (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).

(Đáp số :

2 727 1 0 y y   )

3/ Cho phương trình bậc hai:

2 2 2 0 x x m    có các nghiệm 1 2 ; x x . Hãy lập phương trình bậc hai có các

nghiệm 1 2 ; y y sao cho :

a) 1 1 3 y x   và 2 2 3 y x   b) 1 1 2 1 y x   và 2 2 2 1 y x  

Đáp số : a)

2 2 4 3 0 y y m    b)

2 2 2 (4 3) 0 y y m     .

4/: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình = 0 2 2  mx x

5/ Cho phương trình có hai nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 0 2 2 2    m x x 2 1; x x

1 2 ;1 2 2 2 1 1     x y x y

6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn 2 1; x x

  

 

 

26

2

3 2 3 1

2 1

x x

x x

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S2 4P  0 ) 2 0 x Sx P     * Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài * Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết tổng S và tích P

1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6  3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36  3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30

IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( ) và 1 2 x x  1 2 x x Bài tập áp dụng:

1. ( =…….) 2 2 1 2 x x     1 2 1 2 x x x x   

2. ( = =……. ) 3 3 1 2 x x      

2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x …