Toán 9 - Giải và biện luận phương trình chứa căn thức

143

C. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Cách giải cũng giống như giải biện luận các phương trình

khác.

Nói chung ta phải giải quyết 3 vấn đề:

* Điều kiện có nghiệm * Có bao nhiêu nghiệm * Nghiệm số bằng bao nhiêu. Giả sử xét phương trình: A B (1) =

2 B 0 (2) (1) A B (3)

≥ ⎧⎪ ⇔⎨ = ⎪⎩

Bước 1: Giải phương trình (3). Điều kiện có nghiệm của (3) và

số nghiệm .

Bước 2: Chọn nghiệm thỏa điều kiện (2), có nhiều cách, tổng

quát ta có thể thế từng nghiệm của (2) vào (1) để được điều kiện nhận

nghiệm đó. Sau cùng ta phải tổng hợp các nghiệm trên.

2. Biện luận số nghiệm của phương trình :

Nếu phương trình có dạng f(x) = k (với k không phụ thuộc vào x)

ta giải bằng khảo sát hàm.

II. CÁC VÍ DỤ.

Ví dụ 1:

Cho phương trình : 2 2 x 2x m x 1 m − + = − − (1)

1. Giải phương trình (1) với m = 2 2. Giải và biện luận phương trình (1) theo m. (ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1996). Giải

1. Với m = 2: 2 (1) x 2x 4 x 1 2 ⇔ − + = − − (2)

144

. Xét x 1: x 1 0 ≥ ⇒ −≥

2 2 2 x 3 0 (2) x 2x 4 x 3 x 2x 4 (x 3)

− ≥ ⎧⎪ ⇔ − + = − ⇔⎨ − + = − ⎪⎩

x 3 4x 5 5 x 3 x (loại) 4

≥ ⎧ = ⎧ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ≥ = ⎩ ⎪⎩

. Xét x < 1: x 1 0 : −<

2 2 2 x 1 0 (2) x 2x 4 x 1 x 2x 4 (x 1)

−−≥ ⎧⎪ ⇔ − + = −−⇔⎨ − + = + ⎪⎩

x 1 3 x (loại) 4

≤ ⎧⎪ ⇔⎨= ⎪⎩

. Tóm lại phương trình cho vô nghiệm .

2. Xét 2 2 x 1:(1) x 2x m x 1 m ≥ ⇔ − + = −−

2 2 2 x 1 m 0 x 1 m

2mx 2m 1 (3) x 2x m (x 1 m)

−− ≥ ⎧ ≥+ ⎧ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ = + − + = −− ⎪ ⎩ ⎩

+ Nếu m = 0: (3) VN

+ Nếu 2m 1 m 0 :(3) x 2m + ≠ ⇔ =

vì 2 2m 1 2m 1 x 1 m 1 m 0 2m 2m + − + ≥+ ⇔ ≥+ ⇔ ≥

2 2 m 0 m 2 2 ⇔ ≤− ∨ < ≤ vì 2m 1 x 1 1 0 m 0 2m + ≥⇒ −≥ ⇔ >

Vậy 2 0 m 2 < ≤ nhận nghiệm 2m 1 x 2m + =

Khi 2 m 0 m : 2 ≤ ∨ > vô nghiệm

. Xét x < 1: 2 2 (1) x 2x m 1 x m ⇔ − + = − −

2 2 2 2mx 2m 1 x 2x m (1 x m) (4) x 1 m 1 x m 0

⎧ = − ⎧ − + = − − ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨≤− − − ≥ ⎪ ⎩ ⎩

+ Nếu m = 0: (4) VN

ThuVienDeThi.com

145

+ Nếu m 0 ≠ : (4) 2m 1 x 2m − ⇔ =

Vì 2 2m 1 2m 1 x 1 m 1 m 0 2m 2m − − ≤− ⇔ ≤− ⇔ ≤

2 2 m 0 m 2 2 ⇔ ≤− ∨ < ≤

Vì x < 1 2m 1 1 1 0 m 0 2m 2m − ⇔ < ⇔− < ⇔ >

Khi 2 0 m : 2 < ≤ nghiệm 2m 1 x 2m − =

Khi 2 m 0 m 2 ≤ ∨ > VN.

Tóm lại :

2 0 m 2 < ≤ nghiệm : 2m 1 x , 2m + = 2m 1 x , 2m − =

2 m 0 n : 2 ≤ ∨ > VN

Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau:

1 1 m 1 m x x 1 m 1 m

− + + = + + − (*)

(CAO ĐẲNG HẢI QUAN NĂM 1997) Giải Điều kiện: x 0, ≠ m > 0, m 1 ≠.

(*) 2 2 1 (1 m) (1 m) 1 1 m x x x x 1 m (1 m)(1 m)

− + + + ⇔ + = ⇔ + = − + −

2 (1 m)x (1 m)x 1 m 0 ⇔ − − + + − =

2 2 2 (1 m) (1 m) 3m 10m 3

1 0 m 3 m 3

∆= + − − = − + −

∆= ⇔ = ∨ =

. Nếu 1 m 3:(*)VN 3 < <

146

. Nếu 1 0 m m 3:(*) 3 < < ∨ > có 2 nghiệm

2 1 m 3m 10m 3 x 1 m + ± − + − = −

. m = 3 ⇒ x1 = x2 = - 1

. 1 2 1 m x x 1 3 = ⇒ = =

Ví dụ 3:

Cho phương trình : 2 3x 1 2x 1 ax 2x 1

− = − + − với a là tham số thực.

1. Giải phương trình khi a = 0 2. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. (ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A đợt 3 năm 1998) Giải 1. Khi a = 0 :

2 2 2x 1 0 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1 0 2x 1 2x 1

−> ⎧ − ⎪ = − ⇔⎨ −− + = − ⎪ − ⎩

2

1 1 x x 2 2 2 2 3x 2x x 0 x x 0 3 3 2x 1

⎧ ⎧ > > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ − ⎪ ⎪= ∨ = ⇔ = = ⎪ ⎪ ⎩ − ⎩

2. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:

2 3x 1 2x 1 ax 2x 1

− = − + −

2 3x 2x ax (*) 2x 1

− ⇔ = −

Nhận xét với x = 0: 0 (*) 0 1 ⇔ = − (vô lý)

⇒ x = 0 không là nghiệm của (*)

⇒ x 0 : ≠ (*) 3x 2 a 2x 1

− ⇔ = −

Đặt 3x 2 f(x) 2x 1

− = − 1 x 2 ⎛ ⎞ > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ 3x 1 f '(x) (2x 1) 2x 1

− =

− −

ThuVienDeThi.com