Một số bài toán về cực trị hình học

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Bài 1 . Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.

Bài 2 . Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.

a) Chứng minh : CD = AC + BD và AC.BD = 𝑅2

b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất.

c) Cho R = 2, diện tích tứ giác ABDC bằng 32 . Tính diện tích tam giác ABM 𝑐𝑚2

Bài 3. Cho đường tròn (O;R) . Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d ( C nằm ngoài đường tròn ), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt CN tại K.

a) Chứng minh bốn điểm C, O, N, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh : KN.KC = KH.KO

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM, CN, MN.

d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.

Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H ). ∈𝐴𝐵, 𝐾 ∈𝐴𝐶

a) Chứng minh : Tam giác MBC đồng dạng với tam giác MHK

b) Tìm vị trí của M để HK lớn nhất

ThuVienDeThi.com

Bài 5. Cho ABC đều , đường cao AH . M là điểm bất kỳ trên đáy BC . Kẻ

MP  AB và MQ  AC . Gọi O là trung của AM .

a) Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q cùng nằm trên một đường tròn . b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh . c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất . Bài 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để  ABC có diện tích lớn nhất

Bài 7. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .

a) Chứng minh rằng : b c a y z x  

b) Tìm vị trí của điểm D để tổng nhỏ nhất a b c x y z  

Bài 8. Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) ( A không trùng với B, C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại K ( K khác A ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). ∈

a) Đặt AH = x. Tính diện tích tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt GTLN.

b) Chứng minh rằng : Khi A thay đổi, tổng không đổi 𝐻𝐾2 + 𝐴𝐻2

Tính góc B của tam giác ABC biết

𝐴𝐻 𝐾𝐻=

15 5

ThuVienDeThi.com