Đường tròn nội tiếp và những tính chất thú vị

ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

VÀ NHỮNG TÍNH CHẤT THÚ VỊ

Nguyễn Đăng Khải Hoàn-11T,Chuyên Lương Thế Vinh,Đồng Nai

Đường tròn nội tiếp là một vấn đề quen thuộc vì chúng ta đã làm quen với nó từ lúc mới bắt đầu học hình học phẳng cho đến các kì thi HSG các cấp.Từ các đường phân giác gần gũi đến các tiếp tuyến đã trở thành một vấn đề muôn thuở của hình học phẳng,ta thấy ẩn chứa bên trong đó còn có rất nhiều tính chất thú vị và trở thành những bổ đề quen thuộc nhưng hữu ích khi giải toán.

Sau đây,tôi xin trình bày hiểu biết của mình về các ứng dụng của những tính chất của đường tròn nội tiếp trong tam giác.

I-Một số tính chất về góc.

Tính chất 1:

Cho ABC và đường tròn đường tròn nội tiếp (I).Khi đó: 90 2 BAC BIC     .

R

Q

P

J

B

A

C I F

E

D

Đây là một tính chất cơ bản dễ dàng chứng minh dựa vào biến đổi góc.

*Hệ quả:Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc BAC  thì 90 BJC BAC    .

Đây là một tính chất cơ bản nhưng có rất nhiều ứng dụng,ta cùng xét một số ví dụ:

ThuVienDeThi.com

Bài toán 1:Cho ABC nhọn có 60 BAC   ,AB>AC.Gọi I và K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm của tam giác.

a)Chứng minh: B,I,H,C cùng thuộc một đường tròn.

b)(APMO 2007). Chứng minh: 2 3 AHI ABC  

c)So sánh AI và AH.

Lời giải:

a)Rõ ràng việc chứng minh tứ giác nội tiếp thì công cụ góc là một công cụ không thể bỏ qua.Và theo tính chất 1 làm ta nghĩ ra hướng chứng minh cho bài toán.

F

E

D

H

C B

A

I

Theo tính chất 1 thì: 90 120 2 BAC BIC      .Do đó ta sẽ chứng minh: 120 BHC   

Thật vậy,kẻ các đường cao AD,BE.CF.

Khi đó: AFHE là tứ giác nội tiếp nên 180 120 BHC EHF BAC      .

Vậy ta có B,I,H,C cùng nằm trên một đường tròn.

b)Câu a) chính là để hỗ trợ chứng minh câu b).

Ta có:

180 180 AHI IHD IHB BHD      

3 180 (90 ) 180 2 2 ABC ICB BCA       

3 3 3 180 180 (120 ) 2 2 2 BCA ABC ABC        

Vậy ta có đpcm.

ThuVienDeThi.com

c)Từ việc tính AHI  và việc so sánh hai cạnh tam giác,ta nghĩ ngay đến việc tính AIH  để so sánh hai góc,từ đó nhờ kết quả đã biết sau:”Trong một tam giác,cạnh đối diện với góc lớn hơn thì dài hơn.” Ta sẽ tìm được kết quả.

Góc AIH  có thể dễ dàng tính.Việc này xin để các bạn đọc.

Ta sẽ đến với bài toán tổng quát của bài toán 1c ở trên.

Bài toán 2: (IMO 2006).Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (I).Một điểm P nằm trong tam giác thỏa mãn: . PBA PCA PBC PCB     Chứng minh rằng: AP AI  .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P trùng I.

Lời giải:

Như bài 1,ta dễ chứng minh I,P,C,B cùng nằm trên một đường tròn từ giả thiết về góc.

Đến đây,khi vẽ hình và tính toán số đo các góc ta sẽ chia bài toán thành hai trường hợp.(Không kể P trùng I)

TH1:P thuộc cung IC.

C B

A

I

P

Khi đó ta có: 2 BCA BCP   

Tình toán một chút ta có: 360 180 2 2 A B AIP AIB BIP BCP            :2=90

Vậy AI>AP

TH2 :P thuộc cung IB.

Khi đó thì P nằm trong góc AIB.

ThuVienDeThi.com

C B

A

I P

Tính toán một chút:

Và:

Ta chứng minh:



  .

Mà P nằm trong góc AIB nên ta luôn có : APB AIB   .

Vậy ta có ngay đpcm.

Bài toán 3:Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (I).Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp

BIC .Chứng minh A,I,K thẳng hàng.

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ.Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Theo tính chất 1 thì: 90 2 BAC BIC    

suy ra: BKC  =180 BAC  .

Do đó tứ giác:KBAC là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: IKC ABC   nên 180

2

IKC KIC    = 180

2

ABC  .(1)

ThuVienDeThi.com