Toán 9 - Bất đẳng thức và giá tri lớn nhất, nhỏ nhất

ĐẶNG VIỆT ANH-BR

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN

1)Cho x, y, z và . Chứng minh: 0  2 2 2 3 x y z   

3 3 3

2 2 2

3 2

2 1 1 1

x y z

y z x      

GIẢI

Ta có: VT + 3 =

3 3 3 2 2 2

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1

x y z y z x y z x         0.25

3 3 2

2 2 6 1 ( ) 4 2 4 2 2 1 2 1

x x y VT

y y

       

3 3 2

2 2

1 ( ) 4 2 2 1 2 1

y y z

z z

     

0.25

3 3 2

2 2

1 ( ) 4 2 2 1 2 1

z z x

x x

     

6 6 6

3 3 3 6 3 3 3 4 2 16 2 16 2 16 2 x y z VT    

0.25

2 2 2

6 3 3 3 9 ( ) 2 2 2 8 2 2 2 VT x y z      

(đpcm) 6 3 9 3 9 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 VT VP       

( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI

Ta có nên 1 1 1 2 2 xy yz xz xyz x y z       

1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (1) y z y z x y z y z yz         

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (2) x z x z y x z x z xz         

1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (3) x y x y y x y x y xy         

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được 1 ( 1)( 1)( 1) 8 x y z    

vậy Amax = 1 3 8 2 x y z    

ThuVienDeThi.com

ĐẶNG VIỆT ANH-BR

3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ   2 2 2 1 x y xy   

nhất của biểu thức .

4 4

2 1 x y P xy

   G

Đặt . Ta có: t xy      2 1 1 2 2 4 5 xy x y xy xy xy      

Và . ĐK: .     2 1 1 2 2 4 3 xy x y xy xy xy       1 1 5 3 t  

Suy ra : .  

 

2 2 2 2 2 2 2 7 2 1 2 1 4 2 1

x y x y t t P xy t

        

Do đó: ,    

2

2 7 '

2 2 1

t t P

t

  



' 0 0( ), 1( ) P t th t kth   

và . 1 1 2 5 3 15 P P                 1 0 4 P 

KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên đoạn ) 1 4

2 15

1 1 ; 5 3        4)Với mọi số thực dương thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ; ; x y z 1 x y z   

thức: . 1 1 1 2 P x y z x y z            

G

Áp dụng BĐT Cô-si : (1). Dấu bằng xãy ra khi . 2 18 12 x x   1 3 x 

Tương tự: (2) và (3). 2 18 12 y y   2 18 12 z z  

Mà: (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: .   17 17 x y z     19 P 

. KL: GTNN của P là . 1 19 3 P x y z      19

5. Chứng minh với mọi số dương .  

2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a            ; ; a b c

G

Ta có: (1)

2 1 2 2 a ab ab a a a ab a b a b ab        

Tương tự: (2), (3).

2 1 2 b b bc b c   

2 1 2 c c ca c a   

Cộng (1), (2), (3), ta có:  

2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a           

6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR: 1 1 1 4 x y z    1 1 1 1 2 2 2 x y z x y z x y z         

ThuVienDeThi.com

ĐẶNG VIỆT ANH-BR

+Ta có : ; ; 1 1 1 1 2 4 2 .( ) x y z x y z     

1 1 1 1 2 4 2 ( ) x y z y x z     

1 1 1 1 2 4 2 ( ) x y z z y x     

+ Lại có : 1 1 1 1 ( ); x y 4 x y   

1 1 1 1 ( ); y z 4 y z   

1 1 1 1 ( ); x z 4 x z    cộng các BĐT này ta được đpcm.

7) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0  2 2 2 3 a b c   

3 3 3

2 2 2 1 1 1

a b c P

b c a       GIẢI

Ta có: P + 3 = 2

2

3 2

2

3 2

2

3

1 1 1

a a

c c c

b b b

a        

2 4 1

1 2 1 2 2 4

6 2

2

2

2

3 b

b

a

b

a P        

2 4 1

1 2 1 2

2

2

2

2

3 c

c

b

c

b      

2 4 1

1 2 1 2

2

2

2

2

3 a

a

c

a

c       3

6

3

6

3

6

2 16 3 2 16 3 2 16 3 c b a   

6

2 2 2

3 8 2

9 ) ( 2 2 2

3 2 2

3       c b a P

2 3 2 2

3 2 2

9 2 2

3

2 2

9

6 3      P

Để PMin khi a = b = c = 1

8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

2 2 2

2. a b b c c a b c c a a b         

GIẢI

.Ta có :VT =

2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a A B b c c a a b b c c a a b             

 

3 3

1 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2

1 1 1 1 9 3 ( )( )( )3 2 2 3 2

A a b b c c a a b b c c a

a b b c c a …