Toán 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông nâng cao

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG NÂNG CAO

BÀI 1: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC.

Chöùng minh:

a) b) c) d) 2 2 2 2 3 BC AH BE CF   

2

2 AB HB AC HC 

3

3 AB BE AC CF 

3 . . AH BC BE CF 

BÀI 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của AB, kẻ IH vuông góc BC

taïi H. Chöùng minh: a) b) 2 2 2 1 1 1 4HI AC AB   2 2 2 AC BH CH  

BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm thuộc cạnh huyền BC.

Chöùng minh 2 2 2 2 BM CM AM  

BAØI 4:Cho ABC vuoâng taïi A coù ñường cao AH. Goïi E vaø F laàn löôït laø hình chieáu cuûa H 

treân AB vaø AC.

a)Chöùng minh: AB.AE = AC.AF

b)Chöùng minh: AH3= BC . BE . CF

Bài 5: Cho ABC vuông tại A có AB = 15cm , AC = 20cm và đường cao AH.

a) Tính độ dài BC, AH và BH

b) Vẽ HD và HE lần lượt vuông góc với AB và AC (D thuộc AB , E thuôc AC) Chứng

minh AD.AB = AE. AC

c) Vẽ AM là phân giác của góc BAC. Tính độ dài AM

d) Chứng minh

3

3  BD AB

CE AC

Bài 6: Cho ∆ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm

O sao cho OH = 2 cm

a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho:

. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của ∆MPN. 2 5 AM OP ON AB OB OC   

Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD; sin = 0,8; AD = 42mm, Kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC 𝐷𝐴𝐶

a. AC cắt BD ở O, tính sin𝐴𝑂𝐷

b. Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó

ThuVienDeThi.com

c. Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích

của nó.

Bài 8: Cho tam giác vuông ABC ( = 900). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối 𝐴

AF và BE

a. Chứng minh AF = BE.cosC

b. Biết BC = 10cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE

c. AF và BE cắt nhau tại O. Tính sin𝐴𝑂𝐵

Bài 9: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo

thứ tự là M và N. Nối CM và ND cắt nhau tại P.

a. Chứng minh CM ⊥ DN

b. Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của 𝐶𝑀𝑁

c. Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của và diện tích tam giác MDN. 𝑀𝐷𝑁

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD,

CK ⊥ AB

a. Chứng minh ∆CKH ∽ ∆BCA

b. Chứng minh HK = AC.sin𝐵𝐴𝐷

c. Tính diện tích tứ giác AKCH biết = 600 , AB = 4cm và AD = 5 cm 𝐵𝐴𝐷

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN

Bài Tập 1 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, 

AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3

3 EB AB FC AC      

F

E

H

C B

A

Giải: a) Trong có HB2 = BE . BA (1) ; AHB  có HC2 = CF . CA (2 ) AHC 

Từ (1) và (2) có : . (1')

2

2 . HB BE AB HC FC AC 

Trong có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra ABC 

(2')

2 4 2

2 HB AB HB AB HC AC HC AC               

Từ (1') và (2'). Ta có : .

3 EB AB FC AC      

b) . ABC  BE BH EBH BA BC   

Thay (3)

2 3

2 AB AB BH BE BC BC   

Tương tự ta cũng có ( 4) .

3

2 AC CF BC 

Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = .

3 3

4 . AB AC

BC

Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = = AH3

3 3 3

2 2 AB AC BC

        

ThuVienDeThi.com