Xem trước nội dung
Bài 1: Cho biểu thức:
P(x) =
x3 + 3x2 + (x2 ‒ 4) x2 ‒ 1 ‒ 4
x3 ‒ 3x2 + (x2 ‒ 4) x2 ‒ 1 + 4
(x ≥1)
a) Rút gọn P(x) b) Tìm x để P(x) = 1 Lời giải:
a) Ta có: x3 + 3x2 – 4 = (x + 2)2(x – 1)
Và do đó: x3 + 3x2 + (x2 ‒ 4) x2 ‒ 1 ‒ 4
(1) = (x + 2) x ‒ 1((x + 2) x ‒ 1 + (x ‒ 2) x + 1)
Tương tự như vậy: x3 – 3x2 + 4 = (x – 2)2(x + 1)
Và: x3 ‒ 3x2 + (x2 ‒ 4) x2 ‒ 1 + 4
(2) = (x ‒ 2) x + 1((x + 2) x ‒ 1 + (x ‒ 2) x + 1)
Ta giải phương trình: (x + 2) x ‒ 1 + (x ‒ 2) x + 1 = 0
⟺{
1 ≤x ≤2 (x + 2)2(x ‒ 1) = (x ‒ 2)2(x + 1)⟺{
1 ≤𝑥≤2 x3 + 3x2 ‒ 4 = x3 ‒ 3x2 + 4 ⟺𝑥=
2
3
Vậy miền xác định của P là: {
x ≥1
x ≠2
x ≠
2
3
Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:P =
(x + 2) x ‒ 1
(x ‒ 2) x + 1
b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1
Ta có: P = 1 ⟺(x + 2) x ‒ 1 = (x ‒ 2) x + 1
⟺{
x ≥2 (x + 2)2(x ‒ 1) = (x ‒ 2)2(x + 1) ⟺{
x ≥2 x3 + 3x2 ‒ 4 = x3 ‒ 3x2 + 4
Hệ vô nghiệm. ⟺{
x ≥2
[
x =
2
3
x =‒
2
3
ThuVienDeThi.com
Bài 2: a) Cho x > 0, y>0 thỏa mãn x + y 6, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ≥ thức:
P = 3x + 2y +
6 x +
8 y b) Cho a>0, b>0, c>0, d>0.Chứng minh rằng: (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥6
4 abcd Lời giải:
a) Ta có:
P = 3x + 2y +
6 x +
8 y
=
3 2(x + y) +(
3 2x +
6 x) + (
1 2y +
8 y)
≥
3 2.6 + 2
3 2x.
6 x + 2
1 2y.
8 y
= 19
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: {
x + y = 6
3 2x =
6 x 1 2y =
8 y
⟺{x = 2
y = 4
Vậy Pmin=19 và giá trị nhỏ nhất đạt được tại x = 2, y = 4.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số, ta có:
; ; ; a + b ≥2 ab c + d ≥2 cd a + c ≥2 ac
; ; ; b + d ≥2 bd a + d ≥2 cd b + c ≥2 bc
Thay các bất đẳng thức trên vào vế phải ta được điều phải chứng minh.
ThuVienDeThi.com
Bài 4:a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng, trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng
không lớn hơn 2
2 b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tích
không lớn hơn 1 32 Lời giải:
a) Chia hình vuông đã thành 4 hình vuông con như hình vẽ:
Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là và đường chéo là 1 2
2
2
Gieo 5 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 5 điểm đó sẽ nằm trong 4 hình vuông con. Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 2 điểm nằm trong cùng một hình vuông. Và do đó khoảng cách giữa 2 điểm đó sẽ không lớn hơn đường chéo của hình vuông
chứa nó, tức là không lớn hơn .ĐPCM. 2
2
b) Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông con như hình vẽ:
Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là và diện tích là 1 4
1 16
Gieo 33 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hình vuông con. Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 3 điềm nằm trong cùng 1 hình vuông
con. Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ không lớn hơn 1 2
diện tích hình vuông con, tức là không lớn hơn .ĐPCM. 1 32
ThuVienDeThi.com
Bài 3: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n +1 chia hết cho m.
b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
52p
+ 2007 = 52q2
+ q2
Lời giải: a) –Xét trường hợp m n ≥ Ta có 0< 2n + 1 2m +1 3m ≤ ≤ Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp: *) 2n + 1 = 3m. Vì m n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1 ≥ *) 2n + 1 = 2m . Loại vì chẳn lẻ ≠ *) 2n + 1 = m. Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 3. Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3) –Xét trường hợp m < n. Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7) Kết luận: Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài toán là:
(1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
