Toán 9 - Phương trình với nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên

Nguyễn Anh Tuấn 1

Phương trình với nghiệm nguyên Dạng toán này là một trong những dạng toán khó trong bộ môn Toán Số , những phần mà tôi nêu ra dưới đây chỉ là những dạng cơ bản nhất . Tuy nhiên, để hiểu được nó trước hết cần nắm được Lý thuyết số .

Dạng A Phương trình một ẩn - hệ số nguyên

Dạng tổng quát : anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + ao = 0 (1) Cách giải : vận dụng các tính chất sau

Nếu x = b là nghiệm của phương trình (1) thì b là ước của ao Nếu an = 1 thì nghiệm hữu tỉ nếu có của (1) là số nguyên Qui tắc tìm nghiệm :

 Tìm các ước của ao

 Thử lần lượt các ước của ao vào vế trái của (1) Phương trình bậc nhất hai ẩn ( Phương trình Diophante - Giải tích Diophante) {Diophante - Người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống về Phương trình vô định , sống ở thế kỷ thứ III.Tập sách “Số học “ của ông có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của Lý thuyết Số}

Dạng tổng quát : ax + by = c (2) Cách giải : vận dụng các tính chất sau

Giả sử a, b, c  Z ; a, b  0 và d = (a , b) . Khi đó :

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi d Ư( c ) Nếu (xo , yo) là một nghiệm của ax + by = 1 với (a , b) = 1 thì (cxo , cyo) là một nghiệm của phương trình (2)

Nếu (xo , yo) là một nghiệm nguyên của (2) với (a , b) = 1 thì mọi nghiệm nguyên của nó được xác định bởi hệ thức :

x = xo + bt y = yo - at ; với t  Z Thật vậy , vì (xo , yo) là một nghiệm nguyên của (2)  axo + byo = 1  axo + byo = ax + by

 x = = xo +  { (a , b) = 1   Z  y = yo - at } axo   by by a

o b y y a

o ( )  y y a t o  

Phương trình vô định dạng x2 + y2 = z2 ( Phương trình Pithago )

Cách giải :

 Phương trình vô định dạng x2 + y2 = z2 có vô số nghiệm nguyên xác định bởi công thức

( Định lý tìm nghiệm này đã được biết từ Euclide ) :

x = u.v ; y = ; z = u v 2 2

2  u v 2 2

2 

với u , v  Z ; u , v lẻ ; u > v ; (u, v) = 1

 Ví dụ

* Khi u = 3 ; v = 1  x = 3 ; y = 4 ; z = 5 * Khi u = 5 ; v = 3  x = 15 ; y = 8 ; z = 17

Phương trình vô định dạng x2 - Py2 = 1 ( Phương trình Pell ) ( P Z+ , không là số chính phương ) { Đây là một dạng phương trình Diophante bậc 2, xuất phát từ một bài toán do Archimède đặt ra, bài toán có 8 ẩn số thỏa mãn 7 phương trình, đưa đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Năm 1880 người ta đã tìm ra nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1) với x là số có 45 chữ số , y có 38 chữ số }

Cách giải :

 Phương trình Pell có nghiệm x =  1 , y = 0 được gọi là nghiệm tầm thường .

 Phương trình Pell luôn có vô số nghiệm không tầm thường.

ThuVienDeThi.com

Phương trình nghiệm nguyên

Nguyễn Anh Tuấn 2

 Giả sử xo , yo là các số nguyên dương nghiệm đúng phương trình Pell, thế thì các cặp số (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cũng là nghiệm. Do đó để tìm nghiệm không tầm thường của phương trình Pell, ta chỉ cần tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình đó. Tất cả các nghiệm nguyên dương (xk ; yk ) của phương trình được xác định từ đẳng thức :

vớiù k = 1, 2, 3,...trong đó (x1 , y1) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất .

 Với P nhỏ , việc tìm (x1 , y1) không khó khăn lắm - chúng ta chỉ việc thử lần lượt y = 1, 2, 3, 4, 5... để tìm x2 = Py2 + 1 là một số chính phương .

Tại sao P là số nguyên dương không chính phương ? . Ta hãy xét phương trình tổng quát hơn, đó là phương trình : x2 - Py2 = 1 (*) trong đó P là số nguyên dương cho trước .

Vì x, y có mặt ở vế trái của (*) dưới dạng bình phương nên ta có thể hạn chế ở việc tìm các nghiệm nguyên không âm .

Hiển nhiên rằng x = 1 ; y = 0 là một nghiệm - gọi là nghiệm tầm thường của (*). Ta còn phải tìm các nghiệm không tầm thường (x, y > 0)

Nếu trong phương trình P là một số chính phương P = k2 (kZ+) thì (*) chỉ có nghiệm tầm thường, thật vậy khi đó (*) có dạng x2 - (ky)2 = 1 và chú ý rằng hiệu của hai số chính phương bằng 1 khi hai số chính phương ấy là 1 hoặc 0  x2 = 1 ; (ky)2 = 0  x = 1 ; y = 0 .

Như vậy : Điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm không tầm thường là P không phải là một số chính phương . @ Để tìm sự thú vị …