Chuyên đề Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài Toán hình học 9

CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9”.

1

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì thuộc miền trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2. *GỢI Ý: Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go. Vì lí do đó vẽ đường phụ qua M vuông góc với AB tại E và ME cắt DC tại F. Ta có: MF  DC. Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán! LƯU Ý: Bạn đọc hãy xét trường hợp M nằm ngoài hình chữ nhật.

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD có + = 900. Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2. AC AD

*GỢI Ý: Vì + = 900 < 1800 nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau, gọi E là giao điểm của AD và BC. AC AD

Từ đây ta có = 900. Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác ACED này sẽ cho ta kết quả cần chứng minh. Điểm E là điểm cần vẽ thêm. Bài toán 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD. *GỢI Ý: Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có AC  BD. Ta nhận ra rằng đường phụ BE // AC, E  DC giúp ta tính được AC. Bài toán 4:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, đường cao BH. Chứng minh rằng: .

2 2 1 AH AB HC BC         *GỢI Ý: Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C qua A, ta có tam giác BDC vuông tại B.

BDC có = 900, BH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta sẽ tìm ra lời giải bài toán. AB Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho

. Chứng minh rằng: = 900. 1 3 AD HE AC HA   ABED

*GỢI Ý:

Từ giả thiết ta nghĩ đến vẽ DF  AH, F  AH. Từ đó AF = HE, HA = FE và áp dụng định lí Py-ta-go ta 1 3 AD HE AC HA  

chứng minh được BE2 + ED2 = BD2. Bài toán 6:

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 BC AB AC AM   

*GỢI Ý: Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: AB < AC. Ta vẽ đường cao AH để có các tam giác vuông HAB, HAC, HAM và áp dụng định lí Py-ta-go. Bài toán 7: Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: AB2 . CD + AC2 . DB – AD2 . BC = CD . DB . BC. *GỢI Ý: Ta vẽ thêm đường phụ là AH  BC, H  BC để xuất hiện được các tam giác vuông và áp dụng được định lí Py-ta-go. Bài toán 8:

ThuVienDeThi.com

CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9”.

2

a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD.” b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD, ta có AC2 + BD2  AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra. *GỢI Ý: Ta vẽ các đường phụ AH  DC, BK  DC, H  DC, K  DC. Bài toán 9: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là ha, hb, hc. Chứng minh rằng:

a) ha2  (a + b + c)(-a + b + c) 1 4

b) ha2 + hb2 + hc2  (a + b + c)2 1 4 *GỢI Ý:

Ta có: ha2  (a + b + c)(-a + b + c) 1 4  (2ha) 2  (b + c)2 – a2  (2ha)2 + a2  (b + c)2 Ta nghĩ đến định lí Py-ta-go, từ đó tìm tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài bằng 2ha, a và cạnh huyền là x mà x  b + c. Ta vẽ đường phụ là Ax // BC và điểm phụ D đối xứng với B qua Ax. Bài toán 10: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì, cắt các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F.

Chứng minh rằng . 2 2 2 1 1 1 AE AF AD  

*GỢI Ý:

Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức: 2 2 2 1 1 1 h b c  

Do vậy tìm một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng AE, AF và có đường cao bằng AD. Điểm G thuộc DC sao cho GA  AF là điểm cần vẽ thêm. Bài toán 11:

Cho hình thoi ABCD với = 1200. Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại AA

N. Chứng minh rằng: . 2 2 2 1 1 4 3 AM AN AB  

*GỢI Ý:

Bài toán 11 có “dáng dấp” …