Toán 9 - Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BĐT – CỰC TRỊ HAY

Câu 1: Cho a, b, c là cac số dương thoả mãn điều kiện: a + b + c = 2013.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q =

3 3 3 3 3 3

2 2 2 5 5 5 3 3 3 b a c b a c ab b bc c ca a        

Trước hết ta chứng minh BĐT:

3 3

2 5 2 (1) 3 b a b a ab b    

Thật vậy:

3 3

3 3 2 2

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

2

5 2 (1) 5 (2 )( 3 ) 3 5 2 6 3 0

( )( ) 0

b a b a b a b a ab b ab b b a a b a b b ab a b a b ab

a b a b

                   

   

Đúng với mội số dương a, b. Dấu “=” xảy ra khi a = b

Chứng minh tương tự ta có: .Dấu “=” xảy ra khi c = b.

3 3

2 5 2 (2) 3 c b c b cb c    

.Dấu “=” xảy ra khi a = c.Cộng vế với vế ba BĐT (1), (2), (3) ta được:

3 3

2 5 2 (3) 3 a c a c ca a    

(2 ) (2 ) (2 ) Q b a c b a c a b c         

Dấu “=” xảy ra khi a = b= c.Vậy maxQ = 2013 671 a b c    

Câu 2:Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2013 27

3 3 3

2 2 2 2 2 2 a b c P a ab b b bc c c ac a         

Do

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) a b b c c a a b b c c a a ab b b bc c c ac c a b c b c a a ab c b bc c c ac c a ab b b bc c c ac c

                

                 

Ta c/m BĐT sau: . Thật vậy

2 2

2 2

1 (1) 3 a ab b a ab b     

2 2 2

2 2

3 3

2 2

1 (1) 2( ) 0 ( ) ( ) 3 1 ( )(2) 3

a ab b a b a b a b a ab b a b hay a b a ab b

               

Dấu bằng trong (2) xảy có dấu bằng trong (1) a = b  

ThuVienDeThi.com

Lý luận tương tự ta có . Dầu “ =” xảy ra khi b= c Dấu “ =”

3 3

2 2

1 ( )(3) 3 b c b c b bc c     

3 3

2 2

1 ( )(4) 3 c a c a c ac a      xảy ra khi a = c

Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2( ) 3 a b b c c a a b c a ab b b bc c c ac c               

P =

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2013 27 2013 3 3 3 a b c a b c a ab b b bc c c ac a

            

Vậy minP = 2013 3 2013 3 a b c    

Câu 3: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng:

3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3

        

zx

x z yz

z y xy

y x

áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương, ta có:

1 + x3 + y3 <=> (1)  xy y x 3 . .1 33 3 3 

xy xy

y x 3 1 3 3

  

Tương tự: (2) (3) yz yz

z y 3 1 3 3

  

zx zx

x z 3 1 3 3

  

Tõ (1), (2) & (3), suy ra: (*) zx yz xy zx

x z yz

z y xy

y x 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3

          

Mặt khác: (**) 3 3 3 . 3 . 3 3 3 3 3

3    

zx yz xy zx yz xy

Tõ (*) & (**) suy ra: 3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3

        

zx

x z yz

z y xy

y x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.

Câu 4: Cho ba số dương x, y, z. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 2 3 2 3

1 1 1 2 2 2

z y x x z

z z y

y y x

x        

áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương, ta có:

x3 + y2 => (*)  x xy y x 2 . 2 2 3  xy x xy

x y x

x 1 2

2 2

2 3   

ThuVienDeThi.com

Mặt khác: => (**) xy y x y x

1 .2 1 . 1 2 1 1

2 2 2 2     

  

   2 2

1 1 2 1 1

y x xy

Từ (*)&(**) suy ra: (1)Tương tự, ta có: (2)  

  

    2 2 2 3

1 1 2 1 2

y x y x

x

 

  

    2 2 2 3

1 1 2 1 2

z y z y

y

(3)          2 2 2 3

1 1 2 1 2

x z x z

z

Tõ (1), (2) & (3), suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2

z y x z y x z y x x z

z z y

y y x

x     

  

           

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.

Câu 5:Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

3 3

3

3 3

3 4 8 y x y

y y x

x Q

    

Ta chứng minh hai bất đẳng thức: (1) (2) 2 2

2

3 3

3

2 8 y x

x y x

x

    

2 2

2

3 3

3

2y x

y y x y

y

   

Thật vậy BĐT (1) (đúng với mọi x, y)   2 2

4

3 3

3

2 8 y x

x y x

x

    xy y x 2 2 2   

BĐT (2)    

2 2 2

4

3 3

3

2y x

y

y x y

y

         

3 2 2 2 2 2 3 y x y y x y x     

Ta có: .Nên   …