Toán 9 - Chuyên đề I Phép chia có dư đồng dư thức

1

CHUYÊN ĐỀ I : PHÉP CHIA CÓ DƯ – ĐỒNG DƯ THỨC I. Phép chia hết, phép chia có dư 1. Cho a, b Z, b > 0 ; khi chia a cho b ta có:  a) a b (hay a \ b) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = b.q  b) a không chia hết cho b : khi đó chia a cho b ta được thương gần đúng là q và số dư r (0 < r < b) ; ta viết : a = b.q + r (với 0 < r < b) Chú ý : - Khi chia một số nguyên a cho một số nguyên b > 0 thì số dư là một trong b số từ 0 đến b – 1. - Trong trường hợp a không chia hết cho b (r  0). Ta có thể lấy số dư là số âm r’ với r’ = r – b (do đó < b). r ' Ví dụ : Chia 23 cho 3, ta có thể viết : 23 = 3.7 + 2 (7 gọi là thương gần đúng thiếu, vì 3.7 = 21 < 23) 23 = 3.8 + (–1) (8 gọi là thương gần đúng thừa, vì 3.8 = 24 > 23) - Coi số dư có thể là số âm như trên, thì mọi số nguyên a khi chia cho 2, 3, 4, … , b có dạng : a = 2k ; a = 2k + 1 hoặc a = 2k ; a = 2k – 1 (k Z)  a = 3k ; a = 3k  1 (k Z)  a = 4k ; a = 4k  1 ; a = 4k + 2 hoặc a = 4k ; a = 4k  1 ; a = 4k – 2 (k Z)  ……………………………………………………………………………………………… Tổng quát : nếu a = bk + r (b > 0), thì :

b chẵn : r = 0 ; r = 1 ; r = 2 ; …… ;  b 2

hoặc r = 0 ; r = 1 ; r = 2 ; …… ; – b

2

b lẻ r = 0 ; r = 1 ; r = 2 ; …… ;   b 2 2. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất. Cho hai số nguyên dương a và b.

Ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu ƯCLN(a,b) hay (a,b). Một số d là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước chung của ƯCLN(a,b).

d \ a và d \ b d \ (a,b)  Bội chung nhỏ nhất của a và b, kí hiệu BCNN(a,b) hoặc . Một số m là bội chung của a   a,b và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,b).

m a và m b m      a,b Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi (a,b) = 1

Ta chứng minh được : =   a,b ab (a,b) Từ đó : = ab nếu (a,b) = 1   a,b 3. Thuật toán Ơclit (Tìm ƯCLN dựa vào định lí phép chia có dư) :

Thuật toán Ơclit dựa vào hai mệnh đề sau : 1) a = bq (a,b) = b  2) a = bq + r (r  0) (a,b) = (b,r)  Ví dụ : Tìm (702,306) Ta có : 702 = 306.2 + 90 (702,306) = (306,90)  306 = 90.3 + 36 (306,90) = (90,36)  90 = 36.2 + 18 (90,36) = (36,18) = 18  Vậy (702,306) = 18. Trong thực hành, người ta thường đặt phép tính như sau :

ThuVienDeThi.com

2

2 0

36 2

90

18

36 3

90 306 2

306 702

Nếu thực hiện thuật toán Ơclit để tìm ƯCLN của hai số mà đến một lúc nào đó có số dư là 1 thì hai số đó là nguyên tố cùng nhau.

Áp dụng : Cho n là số tự nhiên bất kì ; Chứng minh rằng : không thể giản ước được. 21n 4 14n 3   (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc năm 1970) Giải : 21n + 4 = (14n + 3).1 + 7n + 1 (21n + 4,14n +3) = (14n + 3,7n + 1)  14n + 3 = (7n + 1).2 + 1 (14n + 3,7n + 1) = (7n +1,1) = 1  Vậy : (21n + 4,14n +3) = 1

Hai số 21n + 4 và 14n + 3 có ước chung lớn nhất bằng 1 nên phân thức không thể giản 21n 4 14n 3   ước được. 4. Một số tính chất, định lí quan trọng thường được dùng để giải một số bài toán chia hết :

4.1) Mọi số nguyên a  0 đều chia hết cho chính nó (a Z ; a  0 a a)    4.2) a b và b c a c     4.3) 0 b (b  0)  4.4) a, b là hai số nguyên dương, nếu a b và b a thì a = b   4.5) a b thì ac b với c Z    4.6) a b a b    4.7) a 1  4.8) a b và a  b b không chia hết cho a   4.9) a c và b c (a + b) c ; (a – b) c      4.10) a c và b c (am + bn) c     4.11) S = (a + b + c + d) m và a,b, c m thì d m    4.12) a, b, c m và d không chia hết cho m thì a + b + c + d không chia hết cho m  4.13) a b và c d ac bd. Đặc biệt : a b an bn        4.14) ac b và (a,b) = 1 c b   

4.15) (ca,cb) = c(a,b) ; a b (a,b) , c c c       4.16) c a và c b ; (a,b) = 1 c ab     4.17) Với hai số nguyên a, b và b > 0 thì bao giờ cũng tìm được cặp số nguyên duy nhất (q; r) sao cho a = bq + r (0  r < b). 5. Các bài toán chia hết và phương hướng tìm lời giải :

Cho biểu thức A(n), phụ thuộc vào số n (n Z hay n Z’ một tập con của Z)   5.1) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trường hợp về số

dư khi chia n cho p (0, 1, 2, …, ) p 1

2

 

Ví dụ : Chứng minh rằng n(n2 + 1)(n2 + …