Toán 9 - Bất đẳng thức cô si và các bất đẳng thức suy rộng

Chuyên đề Bất đẳng thức

1

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SUY RỘNG

Lời mở đầu Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của những người yêu toán. Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay các kì thi Olympic. Có rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,mỗi phương pháp lại có những vẻ đẹp và sự độc đáo riêng .Ngay cả khi áp dụng cùng một phương pháp thì cái hay của bài toán lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoat của từng người sử dụng. Do vậy , khó có thể nói rằng một phương pháp chứng minh bất đẳng thức nào đó đă chiếm vị trí độc tôn trong toán học . Nhưng khi nói về những bất đẳng thức cơ bản ,chúng ta phải nhắc tới bất đẳng thức Cô si . Đây là bất đẳng thức vô cùng quan trọng và rất thiết thực trong chương trình Toán học phổ thông. Bất đẳng thức Cô si được áp dụng để chứng minh nhiều bài toán ,từ đơn giản đến phức tạp . Các em học sinh Trung học cơ sở cũng có thể hiểu và vận dụng vào các bài toán hai biến .Nhưng , cũng có những bài toán trở thành những thách thức lớn trong giới chuyên môn. Trong khuôn khổ của bài tập này,em không có tham vọng trình bày tất cả những vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cô si, chỉ xin đưa ra một số cách chứng minh và những bất đẳng thức suy rộng của nó .

Hi vọng vốn kiến thức nhỏ bé này sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn trong lớp ,nhất là trong thời điểm chúng ta sắp xuống trường phổ thông thực tập. Em xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư,Tiến sĩ Nguyễn Minh Tuấn đã giảng dạy nhiệt tình cho chúng em về chuyên đề Bất đẳng thức ,giúp em học hỏi thêm nhiều kiến thức và tự tin hoàn thành bài tập này .

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề Bất đẳng thức

2

PHẦN NỘI DUNG

§1. Bất đẳng thức Côsi.

Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức Côsi và một số ví dụ minh họa.

Trước hết chúng ta xét trường hợp đơn giản 2  n

1. Với R b a  , : ab b a   2

2 2

.

Giải.

ab b a   2

2 2

0 ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2           b a ab b a ab b a .(Đúng).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b a 

2. Với ab b a b a    2 : 0 , .

Giải

.0 ) ( 2 ) ( ) ( 2

2 2 2         b a ab b a ab b a (Đúng).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   b a b a  .

Ví dụ 1. Với 0 , ,  c b a , chứng minh rằng

3 3 abc c b a    (I.1.1)

Giải

(I.1.1) 3 3 3 4 3 abc abc c b a abc c b a         

Ta có 3 3 2 2 abc c ab abc c b a     

32 2 2 bac ab 

34 abc  .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề Bất đẳng thức

3







3

3

2 2 abc c ab

abc c

b a







c b a    .

Từ bất đẳng thức (I.1.1) ta thu được các bất đẳng thức sau :

Với 0 , ,  c b a , ta có:

a) abc c b a    3) 3 ( .

b) abc c b a   

3

3 3 3

.

Ví dụ 2.Với n a a a ,..., , 2 1 là các số thực không âm, chứng minh rằng

n n

i

i

n

i

i a a n

1

1 1

) ( 1  

 

 (I.1.2)

Trong đó 



   

n

i

n i a a a a

1

2 1 ...

n

n

i

i a a a a ..... . 2 1 1

 



Giải

Cách 1. (Dùng phương pháp quy nạp)

2,1  n . (I.1.2) hiển nhiên đúng.

Giả sử (I.1.2) đúng với ) 2 (   k k n . Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

1  k n . Ta có

1

) 1 (

1 1

1 1 1

1 1 

   

  

 

  k

a a k k a k S

k

k

i

i k

i

i k

Theo giả thiết quy nạp thu được

1

) ( 1

1

1 1 

 

  



k

a a k S

k k k

i

i

k

ThuVienDeThi.com