Chuyên đề Quan hệ giữa parabol và đường thẳng trong chương trình Đại số 9

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008

Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà 1

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản thường xuyên sử dụng sau:

Cho Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y = ax + b (d) Khi đó: Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phương trình:

a'x2 = ax + b <=> a'x2 – ax – b = 0 (*) - Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm.

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương trình đó.

- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mối quan hệ này:

 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.

Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + 6

Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d ) y = x + 6 là nghiệm của phương trình:

x2 = x + 6

 x2 –x – 6 = 0

 = b2 – 4ac

ThuVienDeThi.com

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008

Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà 2

= (–1)2 – 4.1.( –6)

= 1 + 24

= 25

D = 5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

1 5 3 2 2 b x a - + D + = = =

2

1 5 2 2 2 b x a - - D - = = = -

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2

Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = – 5x + 4

Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng ( d) y = –5x + 4 là nghiệm của phương trình:

–x2 = –5x + 4

 x2 –5x + 4 = 0

Vì a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nên x1 = 1; x2 = 4

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4

 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.

Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 2 y x và đường

thẳng (d): y = 3x – 4

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 2 y x và đường thẳng (d):

y = 3x – 4 là nghiệm của phương trình:

2

2

1 3 4 2

6 8 0

x x

x x

= -

Û - + =

' = b'2 – ac

ThuVienDeThi.com

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008

Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà 3

= (–3)2 – 1.8

= 9 – 8

= 1

' D = 1

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

' ' 3 1 4 1 b x a - + D + = = =

2

' ' 3 1 2 1 b x a - - D - = = =

Thay x1 = 4 vào ta được y1 = 8 Thay x2 = 2 vào ta được y2 = 2 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)

Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 3 y x và đường

thẳng (a): y = 2x – 3

Giải

Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) = 2 1 3 y x và đường thẳng (a):

y = 2x – 3 là nghiệm của phương trình:

2

2

1 2 3 3

6 9 0

x x

x x

= -

Û - + =

' = b'2 – ac

= (–3)2 – 1.9

= 9 – 9

= 0

Phương trình có nghiệm kép:

1 2

' 3 3 1 b x x a - = = = =

Thay x = 3 vào ta được y = 3 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)

ThuVienDeThi.com

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008

Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà 4

 Dạng 3: Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng.

Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = - 2 4 y x luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.

Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –4x2 với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 là nghiệm của phương trình:

–4x2 = 4mx + m2

 4x2 + 4mx + m2 = 0

 = b2 – 4ac

= (4m)2 – 4.4.m2

= 16m2 – 16m2

= 0  m

Phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đư ờng thẳng (d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi.

Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) = 2 y x luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.

Giải Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d ) y = 2(m – 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phương trình:

x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3

 x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0

' = b'2 – ac

= [(m – 1)]2 – (2m – 3)

= m2 – 2m +1 – 2m + 3

= m2 – 4m +4

= (m – 2)2  0  m

Phương trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm c hung với đường thẳng (d): y = 2(m – …