Bất đẳng thức và những lời giải ấn tượng trong tôi

Fullname : Phạm Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com

October 17, 2011

Page | 1 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ẤN TƯỢNG TRONG TÔI

TôI có thói quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh tinh – những thứ chẳng đâu vào đâu hết . Có thể đó là một vài bài toán, làm dăm ba câu thơ hay viết ra những điều mình nghĩ để trảI lòng với … đêm !

Với Toán tôI rất say s-a …bởi trong Toán tôI tìm đ-ợc cáI tận cùng của tuyệt vọng …và cả sự ngão nghễ của thành công !

Với thơ …là những tháng ngày rất đẹp ! Đẹp nh- thơ, chỉ tiếc khả năng của tôI cũng chỉ đến mức sắp

xếp các chữ để đúng vần …

Với hiện tại, tôI không muốn nói về nó, bởi nếu nói về nó về cáI điều mình đ-ợc nghe, đ-ợc thấy, …tôI sợ mình mất đI cáI rạo rực đ-ợc cống hiến của sức trẻ đã và đang bùng cháy trong tôI !

Và cũng bởi vì tôI đang muốn nói với học trò tôI : “Nỗ lực lên các bạn, đừng nản lòng…các bạn là t-ơng lai của Tổ quốc, chỉ có các bạn mới đủ khả năng …làm biến mất những thứ vẩn đục bây giờ ”!

Bài 1 . Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn :  x y z xyz . Chứng minh rằng :



     2 2 2 1 1 1

1 x 1 y 1 z

3 2

Bình luận - Lời giải : Ngoài cách lượng giác hóa, bài toán này có thể giải bằng cách ( HS : Trần Thị Huyền Trang khóa 2008-2011 ) khá ấn tượng như sau :

Ta có :    

xyz x y z xyz 1 x y z .Do đó :

    

    

          

2

2

x y z x y z 1 1 xyz x x y x z 1 x x yz x x y z x x y z

. Tương

tự, bất đẳng thức đã cho tương đương với :

        

         

 

x y z x y z x y z 3 2 x x y x z y y x y z z z y z x

         

     

   

                        

  

 yz y z zx z x xy x y yz y z zx z x xy x y x y z 3 x y y z z x 2 xyz x y y z z x

3 2 (*)

Lại có : VT(*) =

        

                                            

yz xy zx

x y x z y z y

1 y z z x x y 3 2 x y x z y z y x z x z z x z y y x 2

Dấu “=” xảy ra   x y z 3 .

Bài 2 . Cho các số thực dương thỏa mãn :  abc 1. Tìm giá trị lớn nhất của :

          

 5 2 5 2 5 2 b ab 6 c bc 6 a

1 1 1 P

a c ca b 6

Bình luận – Lời giải : Là đề thi GV giỏi trường THPT Diễn Châu 3, trên diễn đàn MathScope.Org có khá nhiều lời giải. Nhưng bài toán này ấn

tượng của tôi không nằm ở BĐT mà ở đẳng thức :       1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ( Với  abc 1 ) . Chứng minh : Tù

ThuVienDeThi.com

Fullname : Phạm Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com

October 17, 2011

Page | 2 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “

Ta có :                        1 1 1 1 a ab 1 a ab 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a 1 a bc b 1 ab ca c 1 ab a 1 1 ab a a 1 ab

Và đây là cách mà thành viên : hungtoandc3 đã đưa ra : Ta sẽ CM :

      5 2 b ab 6 3 ab a a 1 bởi :             

2 3 ab a 1 1 1 1 a ab 1 a a 1 b là ta sẽ áp dụng đẳng thức trên.

Ta có :                          5 2 4 2 2 2 2 2 2 b ab 6 a a 3a b ab 6 4a a 1 1 1 b 3a ab 6 a ab 3a 3 3a 3 b

       3ab 6a 3a 3 3 ab a 1 .

Một lời giải nữa cũng ấn tượng không kém, đó là lời giải của : Nguyenhuyen_AG bằng việc sử dụng BĐT quen thuộc :

Bổ đề : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : xyz=1. Ta có bất đẳng thức :      1 1 1 2 x 2 y 2 z 1 .

Chứng minh bổ đề này có nhiều lời giải được đưa ra, nhưng thiết nghĩ chịu khó biến đổi tương đương t{ vẫn đơn giản nhất :

                      x,y,z 1 2 x 2 y 2 x 2 y 1 1 2 z 3 x 1 2 x y y y 2 z z 2 zx .

Trở lại bài toán gốc , theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có :           2

5 2 P b ab 6 1 3 a , lại có :

   …