Chuyên đề Hình học 9 Chứng minh tứ giác nội tiếp

4.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp chứng minh

-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

-Chứng minh tứ giỏc cú hai góc đối diện bự nhau.

-Chứng minh hai đỉnh cựng nhỡn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cũn lại

hai gúc bằng nhau.

-Chứng minh tổng của gúc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện

bự nhau.

-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thỡ tứ giỏc ABCD

nột tiếp. (Trong đó M AB CD; N AD BC     )

-Nếu PA.PC = PB.PD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp. (Trong đó

P AC BD   )

-Chứng minh tứ giác đó là hỡnh thang cõn; hỡnh chữ nhật; hỡnh

vuụng; …

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cựng thuộc một đường tròn ta có thể

chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3

điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”

B. BÀI TẬP TỔNG HỢP:

ThuVienDeThi.com

Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các

đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .

2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)

CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)

=> CEH + CDH = 1800

ThuVienDeThi.com

H

((

2

-

- 2 1

1

1 P

N

F

E

M

D C B

A

O

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD

là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900.

CF là đường cao => CF AB => BFC = 900.

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên

đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â là góc

chung

=> AEH ADC => AC AH AD AE 

=> AE.AC = AH.AD.

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là

góc chung

=> BEC ADC => AC BC AD BE 

=> AD.BC = BE.AC.

ThuVienDeThi.com

4. Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)

C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> C1 = C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM

=> CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua

BC.

5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường

tròn

=> C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

5 C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

6 E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và

CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau

tại H. Gọi O là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

ThuVienDeThi.com

3. Chứng minh ED = 2

1

BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)

H

1

3

2

1

1

O

E

D C B

A

CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)

ThuVienDeThi.com