Phương pháp UCT chứng minh bất đẳng thức

Hà Minh Chung – Tặng các bạn lớp k43 Toán – Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19

1

PHƯƠNG PHÁP UCT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

(UCT – Un coeficent Teachmque – Kỹ thuật hệ số bất định)

I. CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng các biểu thức phụ chứa các hệ số chưa xác định để giải bài toán dễ dàng hơn. Biểu thức phụ không có dạng cố định nào cả.

Dấu hiệu để sử dụng phương pháp UCT đó là khi gặp những bài toán khó, các bài toán các biến có tính chất đối xứng.

II. NỘI DUNG:

* Phương pháp chung:

+ Bước 1: Dự đoán điểm rơi (để xác định hệ số bất định được dễ dàng hơn).

+ Bước 2: Tìm biểu thức phụ (Lưu ý: Bậc của biểu thức phụ phải bằng bậc của hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu của bài toán) và chứng minh bất đẳng thức phụ.

+ Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức phụ vào chứng minh bài toán.

Ví dụ 1: Cho a, b, c lớn hơn 0 thỏa mãn

2 2 2 3 a b c   . Tìm GTNN của biểu thức:

1 1 1 2( ) P a b c a b c      

* Nháp:

Dự đoán điểm rơi: a = b = c = 1

1 1 1 2( )

1 1 1 (2 ) (2 ) (2 )

P a b c a b c

a b c a b c

     

     

Tìm biểu thức phụ: Ta dự đoán biểu thức phụ có dạng

2 1 2x mx n x    (*)

Do đó ta có:

ThuVienDeThi.com

Hà Minh Chung – Tặng các bạn lớp k43 Toán – Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19

2

2

2

2

1 2

1 2

1 2

a ma n a

b mb n b

c mc n c

               

Cộng 2 vế ta được:

2 2 2 (a ) 3n 3(m n) P m b c      

Ở trên ta đã dự đoán điểm rơi a = b = c = 1, nên khi đó P = 9.

Do đó ta có n = 3 – m, thay ngược trở lại vào (*), ta được:

2

2

1 2 3

1 2 ( 1)( 1) 3

2 3 1 ( 1)( 1)

( 1)(2 1) ( 1)( 1)

2 1 ( 1)

x mx m x

x m x x x x x m x x x x x m x x x

x m x x

  

     

     

     

   

Đồng nhất x = 1 vào ta được 1 5 2 2 m n    , ta được biểu thức phụ là:

2 1 1 5 2

2 2 x x x   

Lời giải:

Với mọi   0;3 x , ta có:

2

3 2

2

1 1 5 2 2 2 4 5 2 0

( 1) ( 2) 0

x x x x x x

x x

  

    

   

(**)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Áp dụng bất đẳng thức (**) cho bài toán, ta có:

2 2 2 1 5 1 15 18 ( ) 3. .3 9 2 2 2 2 2 P a b c         (đpcm)

ThuVienDeThi.com

Hà Minh Chung – Tặng các bạn lớp k43 Toán – Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19

3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1

Ví dụ 2: Cho , , 0 a b c  thỏa mãn 1 a b c . Chứng minh rằng:

5 4 5 4 5 4 7 P a b c       

* Nháp:

Dự đoán điểm rơi:

1

, 0

a

b c

    

và các hoán vị của nó. Khi đó ta dự đoán:

5 4 a ma n   

Đến đây ta để ý có 2 điểm rơi, ta sẽ thay lần lượt a = 0 và a = 1 vào trên ta được:

2 1 3 2 n m m n n            

Ta có bất đẳng thức phụ là 5 4 2 a a   

Lời giải:

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: 5 4 2 a a   

Với   0;1 a , ta có:

2

2

5 4 2

5 4 4 4

0 ( 1) 0

a a

a a a

a a a a

  

    

     

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng với   0;1 a . Do đó:

2 2 2 7 P a b c      (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 1; b, c = 0 và các hoán vị của nó.

Ví dụ 3: Cho , , 0 a b c  thỏa mãn 3 a b c . Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 1 P a b c b c a c a b       

* Nháp:

Dự đoán điểm rơi: 1 a b c   , khi đó P = 1. Ta có:

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 a b c b c a c a b a a b b c c           

Dự đoán biểu thức phụ:

ThuVienDeThi.com