Một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức - Đại số Lớp 9

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN&GTNN CỦA BIỂU THỨC

---------------------------------

I. Phần I: KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. GTLN của biểu thức A:

- Chứng minh A  M ( M là một hằng số). - Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. - Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M 2. GTNN của biểu thức A:

- Chứng minh A  m ( m là một hằng số). - Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. - Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m 3. Bất đẳng thức Côsi : a) Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm:

- Với hai số a, b không âm, ta luôn có: a + b  2 ab - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b b) Bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:

- Với 3 số a, b, c không âm, ta luôn có: a + b + c  3 3 abc - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: - Với 4 số a, b, c, d bất kì, ta luôn có: (ab + cd) 2  (a2 + c2). (b2 + d2) - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc

➢Chú ý: Nếu b, d 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d

c b a 

5.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

- b a b a    , với mọi a,b. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0.

- a a  , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 0

- 0  a , với mọi a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0

6. Một số kết quả: - Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau. - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau. - Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a 0  + Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng không có GTLN. + Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng không có GTNN. - Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0 - Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0 - Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0

ThuVienDeThi.com

- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0 - Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0 II. Phần II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC 1.Dạng 1: GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao. Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A = x2 – 4x – 2013 b) B = 3x2 + 5x + 4 c) C = x4 – 4x2 – 12 d) D = 4x6 – x3 + 5

Giải:

a) A = (x – 2)2 – 2017  – 2017, với mọi x

Vậy GTNN của A bằng –2017 khi x = 2.

b) B = 3 12

23 12

23 6 5

2

         x , với mọi x

Vậy GTNN của B bằng 12

23 khi x = 6 5  .

c) C = (x2 – 2) 2 – 16  – 16, với mọi x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2 x = 2  Vậy GTNN của C bằng – 16 khi x = 2 

d) D = 4 16

79 16

79 8 1

2 3          x , với mọi x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3 =  8 1 x = 2

1

Vậy GTNN của D bằng 16

79 khi x = 16

79 .

Ví dụ 2: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + 5 b) B = 2(x – 2)4 – 3x2 + 12x – 1

Giải:

a) A =     4 4 1 1

2 2     x , với mọi x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 1) 2 – 1 = 0 



    2 0 x x

Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2 b) B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11

= 2   8 79 8 79 4 3 2

2 2         x , với mọi x

ThuVienDeThi.com

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x –2) 2 – 4

3 = 0

   





 

  

2

3 2

2

3 2

x

x

Vậy GTNN của B bằng 8

79 khi x = 2 2

3 

Ví dụ 3: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = – x2 + 2x + 4 b) B = 5 – 3x – 8x2

c) C = 4x2 – x4 – 6

Giải: a) A = 5 – (x – 1) 2  5, với mọi x

Vậy GTLN của A bằng 5 khi x = 1.

b) B = 32 169 16

3 8 32 169

2

         x , với mọi x

Vậy GTLN của B bằng 32

169 khi x = 16

3  .

c) C = – 2 – (x2 – 2) 2  – 2, với mọi x

Vậy GTLN của C bằng – 2 khi x = 2.

Ví dụ 4: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = (x + 1)3 – x(x2 – 3) – 5(x – 1)2

b) B = – (x + 2)4 + 3(x – 1)2 + x(x + 22) – 5

Giải: a) A = –2x2 + 16x – 4

= 28 – 2(x – 4)2  28,với mọi x

Vậy GTLN của A bằng 28 khi x = 4. b) B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – 2

= – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18 = – 14 –     14 2 2 2 2     x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 2) 2 – 2 = 0

  



  

   

2 2

2 2

x

x

Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + 2 hoặc x = – 2 – 2

Ví dụ 5: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

ThuVienDeThi.com