19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

1

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B           

2/Tính chất + A>B A B   + A>B và B >C C A   + A>B A+C >B + C + A>B và C > D  A+C > B + D + A>B và C > 0  A.C > B.C + A>B và C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n  + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n

+A < B và A.B > 0  B A

1 1 

3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A 2  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0  A với A  (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B    ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + B A B A    ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz

c) x 2 + y 2 + z 2+3  2 (x + y + z)

Giải:

a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2- xy – yz – zx = 2

1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2- xy – yz – zx)

= 2

1   0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2       z y z x y x đúng với mọi x;y;z R 

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

ThuVienDeThi.com

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

2

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0  đúng với mọi x;y;z R  Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R  Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2- 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a)

2 2 2

2 2          b a b a ; b)

2 2 2 2

3 3            c b a c b a c) Hãy tổng quát bài toán

Giải:

a) Ta xét hiệu

2 2 2

2 2          b a b a

=  

4 2 4 2 2 2 2 2 b ab a b a     =   ab b a b a 2 2 2 4 1 2 2 2 2     =   0 4 1 2  b a

Vậy

2 2 2

2 2          b a b a . Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

2 2 2 2

3 3            c b a c b a =         0 9 1 2 2 2       a c c b b a .Vậy

2 2 2 2

3 3            c b a c b a

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

2 2 1 2 2 2 2 1 .... ....  

  

       

n

a a a n

a a a n n

Tóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2

Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải:

0 1 4 4 4 4

2 2 2 2 2 2 2

  

  

     

  

     

  

     

  

    m m q mq m p mp m n mn m

0 1 2 2 2 2

2 2 2 2

                                 m q m p m n m (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi

   



  





 

 

 

 

0 1 2

0 2

0 2

0 2

m

q m

p m

n m



  



  













2 2

2

2

m

m q

m p

m n



  

  



1 2

q p n

m

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : ) ( 4 4 4 c b a abc c b a     

ThuVienDeThi.com