Các bài toán về biến đổi căn thức Lớp 9

1

CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Bài 1) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A 8 8 20 40     . b) 15 4 12 B ( 6 11) 6 1 6 2 3 6             

.

Bài 2) Thu gọn:

a) 2 3 6 8 4 P

2 3 4     

 

; b) 3 5 3 5 Q

10 3 5 10 3 5

       

c) 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2 R - + = + - + + -

. d) S 4 7 4 7 2     

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) 3 5 3 5 A     b) 227 30 2 123 22 2    Bài 4) Tìm GTLN của biểu thức a) A = 3 5 7 3 x x - + - b) B = 5 23 x x - + - Bài 5) Tìm GTNN của biểu thức E = 2 2 4 5 1 x x   ; F = ( 1)( 2)( 3) 5 x x x x     Bài 6) Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên.

a)

3 3 20 14 2 14 2 20    b) 3 3 84 84 1 1 9 9   

c)

3 3 70 4901 70 4901   

Bài 7)Tính giá trị của biểu thức 3 2 2011 A (3x 8x 2)    với

3 ( 5 2) 17 5 38 x

5 14 6 5

  

 

.

Bài 8) a> Chứng minh công thức :

1 n . Ta có :

  

2 1 1

1 2 1 1 n n n n n

 

   

b) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức:

       

1 1 1 1 2011 2013 3 1 2 5 2 3 7 3 4 4023 2011 2012            

Bài 9: a) Chứng minh * n N  . Ta có :

 

1 1 1 1 1 1 n n n n n n       b) Áp dụng tính tổng :

1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 4 5 2012 2011 2011 2012 S           Bài 10)Không sử dụng MTBT và bảng số. Chứng minh:

7 2 3 2 3 29 5 20 2 2 3 2 2 3         

ThuVienDeThi.com

2

ĐÁP ÁN :

Bài 1) Rút gọn các biểu thức sau:

a)

2 2 2 A 8 8 20 40 5 2 1 2 2 1 2 5 1 2 2 5            .

=  

2 5 2 1 5 2 1     .

Cách 2 : a)  

2 2 2 A 8 8 20 40 5 2 5 2 2 5 2 2 2 1 1            .

=     

2 2 2 5 2 5 2 1 2 1 5 2 1         = 5 2 1  

b) 15 4 12 B ( 6 11) 6 1 6 2 3 6             

         3 6 1 6 1 2 6 2 6 2 4 3 6 3 6

( 6 11) 6 1 6 2 3 6

                      

        3 6 1 2 6 2 4 3 6 ( 6 11)          = ( 6 11)  ( 6 11)  = -115.

Bài 2) Thu gọn a) 2 3 6 8 4 2 3 2 6 8 2 P

2 3 4 2 3 4               

= 6 8 2 1

2 3 4   

 

=   2 2 3 2 1

2 3 4

   

 

= 1 + 2 .

b) 3 5 3 5 Q

10 3 5 10 3 5

       

    2 3 5 2 3 5

2 5 6 2 5 2 5 6 2 5

         

    2 3 5 2 3 5

3 5 1 3 5 1

       

=  

 

 

 

2 2 2 8 5 12 2 8 5 12

3 5 1 3 5 1

       

6 2

11 

c) 3 3 3 3

2 3 2 2 2 3 2 2 R - + = + - + + -

2( 3 3) 2( 3 3)

4 2 3 4 4 2 3 4

- + = + - + + -

2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4 - + = + - + + -

2 2 2( 3 3) 2( 3 3) 3 9 - + + = -

24 2 4 2 6 = = - - Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

a)  

2 3 5 3 5 A     b) 227 30 2 123 22 2   

Giải : a)  

2 3 5 3 5 A     = 6 -    2 3 5 3 5    = 2

b) 227 30 2 123 22 2    =    

2 2 15 2 11 2    = 26.

ThuVienDeThi.com

3

Bài 4) Tìm GTLN của biểu thức a) A = 3 5 7 3 x x - + - b) B = 5 23 x x - + - Giải: ĐKXĐ: £ x £

A2 = 3x- 5 + 7- 3x + 2 (3 5)(7 3 ) x x - - Áp dụng BĐT Cô-si ta có: A2 £ 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4

Dấu = xảy ra Û 3x - 5 = 7 - 3x Û x = 2 Vậy Max A2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2 Bài 5) Tìm GTNN của biểu thức E = 2 2 4 5 1 x x   ; F = ( 1)( 2)( 3) 5 x x x x    

Giải : a) E = 2 2 4 5 1 x x    =    

2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 x x x       

Suy ra : Giá trị nhỏ nhất của E bằng 3 1  khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1.

b) F = ( 1)( 2)( 3) 5 x x x x     =    2 2 3 3 2 5 x x x x     (*)

* Đặt t = x2 + 3x. Ta có :

(*)    

2 2 5 1 4 t t t       

(*) đạt giá trị nhỏ nhất của F bằng 2 khi t +1 = 0 hay t = -1.

Vậy min E = 2 khi x = 3 5 2 

Bài 6 ) Chứng minh rằng 3 3 84 84 1 1 9 9    là một số nguyên.

Giải : a)

3 3 20 14 2 14 2 20   

=    

3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2         

=    

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4        

b)Đặt A = 3 3 84 84 1 1 9 9   

Suy ra :

2 2

3 3 3 84 84 84 84 84 84 1 1 3 1 1 3 1 1 9 9 9 9 9 9 A                        …