Giáo án bồi dưỡng Toán lớp 6

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG TOÁN 6

I. Định nghĩa phép chia

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:

a = bq + r Với 0  r   b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.

Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq II. Các tính chất

1. Với  a  0  a  a 2. Nếu a  b và b  c  a  c 3. Với  a  0  0  a 4. Nếu a, b > 0 và a  b ; b  a  a = b 5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b 6. Nếu a  b  (a)  (b) 7. Với  a  a  (1) 8. Nếu a  b và c  b  a  c  b 9. Nếu a  b và cb  a  c  b 10. Nếu a + b  c và a  c  b  c 11. Nếu a  b và n > 0  an  bn

12. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b 13. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b 14. Nếu a  b và c  d  ac  bd 15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III. Một số dấu hiệu chia hết

Gọi N = 0 1 1 n n a ...a a a  1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8} + N  5  a0  5  a0{0; 5}

+ N  4 (hoặc 25)   4 (hoặc 25) 0 1a a

+ N  8 (hoặc 125)   8 (hoặc 125) 0 1a a a2 2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 + N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9) 3. Một số dấu hiệu khác + N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11

+ N  101  [( + +…) - ( + +…)]101 0 1a a 4 5a a 2 3a a 6 7a a

ThuVienDeThi.com

+ N  7 (hoặc 13)  [( + +…) - [( + +…) 11 0 1a a a2 6 7a a a8 3 4a a a5 9 10a a a11 (hoặc 13)

+ N  37  ( + +…)  37 0 1a a a2 3 4a a a5 + N  19  ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19 IV. Đồng dư thức a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.

Ký hiệu: a  b (modun) Vậy: a  b (modun)  a - b  m b. Các tính chất

1. Với  a  a  a (modun) 2. Nếu a  b (modun)  b  a (modun) 3. Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) 4. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun) 5. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun) 6. Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1

 (modun) d

b d

a 

7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m)

 (modun ) d

b d

a 

d m

V. Một số định lý 1. Định lý Euler

Nếu m là 1 số nguyên dương (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1

Thì a(m)  1 (modun) Công thức tính (m)

Phân tích m ra thừa số nguyên tố m = p11 p22 … pkk với pi  p; i  N*

Thì (m) = m(1 - )(1 - ) … (1 - )

`1

1 p 2

1 p k p

1

2. Định lý Fermat

Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1  1 (modp) 3. Định lý Wilson

Nếu p là số nguyên tố thì

( P - 1)! + 1  0 (modp)

ThuVienDeThi.com

phần II: các phương pháp giải bài toán chia hết 1. Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho  45 a56b

Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để  45   5 và 9 a56b a56b Xét  5  b  {0 ; 5} a56b Nếu b = 0 ta có số  9  a + 5 + 6 + 0  9 a56b

 a + 11  9  a = 7 Nếu b = 5 ta có số  9  a + 5 + 6 + 0  9 a56b

 a + 16  9  a = 2

Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560

a = 2 và b = 5 ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9.

Giải Gọi số đã cho là a Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư  5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1  a  9 (Đpcm)

Ví dụ 3: CMR số  81   

1 số 81

111 111

Giải Ta thấy: 111111111  9

Có = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1)   

1 số 81

111 111

Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9  9  1072 + 1063 + … + 109 + 1  9

Vậy:  81 (Đpcm)   

1 số 81

111 111

Bài tập tương tự Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho

a.  4 và 9 34x5y b.  17 2x78 Bài 2: Cho số N = CMR dcba a. N  4  (a + 2b)  4 b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các …