Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 năm học 2012 - 2013

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1

Thanh Mỹ, ngày 20 tháng 7 năm 2012

CHUYÊN ĐỀ1: SỐCHÍNH PHƯƠNG

I. ĐỊNH NGHĨA: Sốchính phương là sốbằng bình phương đúng của một sốnguyên.

II. TÍNH CHẤT:

1. Sốchính phương chỉcó thểcó chữsốtận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thểcó chữsốtận cùng

bằng 2, 3, 7, 8.

2. Khi phân tích ra thừa sốnguyên tố, sốchính phương chỉchứa các thừa sốnguyên tốvới sốmũ chẵn.

3. Sốchính phương chỉcó thểcó một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có sốchính phương nào có

dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).

4. Sốchính phương chỉcó thểcó một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có sốchính phương nào có

dạng 3n + 2 (n N).

5. Sốchính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữsốhàng chục là chữsốchẵn.

Sốchính phương tận cùng bằng 5 thì chữsốhàng chục là 2.

Sốchính phương tận cùng bằng 4 thì chữsốhàng chục là chữsốchẵn.

Sốchính phương tận cùng bằng 6 thì chữsốhàng chục là chữsốlẻ.

6. Sốchính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Sốchính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Sốchính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Sốchính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

III. MỘT SỐDẠNG BÀI TẬP VỀSỐCHÍNH PHƯƠNG

A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐLÀ SỐCHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi sốnguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là sốchính phương.

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì

A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z

Vậy A là sốchính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 sốtựnhiên liên tiếp cộng 1 luôn là sốchính phương.

Gọi 4 sốtựnhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

ThuVienDeThi.com

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2

= (n2 + 3n + 1)2

Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là sốchính phương.

Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là sốchính phương .

Ta có k(k+1)(k+2) = 4

1 k(k+1)(k+2).4 = 4

1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1 k(k+1)(k+2)(k-1)

S = 4

1 .1.2.3.4 - 4

1 .0.1.2.3 + 4

1 .2.3.4.5 - 4

1 .1.2.3.4 +…+ 4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4

1

k(k+1)(k+2)(k-1) = 4

1 k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quảbài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là sốchính ph ương.

Bài 4: Cho dãy số49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy sốtrên được xây dựng bằng cách thêm số48 vào giữa sốđứng trước nó. Chứng minh rằng

tất cảcác sốcủa dãy trên đều là sốchính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1

n chữsố4 n-1 chữsố8 n chữsố4 n chữsố8 n chữsố4 n chữsố1

= 4. 9

1 10  n

. 10n + 8. 9

1 10  n

+ 1 = 9

9 8 10 .8 10 .4 10 .4 2     n n n

= 9

1 10 .4 10 .4 2   n n

=  

  

  3

1 10 .2 n

Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữsốchia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3

n-1 chữsố0

  

  

  3

1 10 .2 n Z hay các sốcó dạng 44…488…89 là sốchính phương.

Bài 5: Chứng minh rằng các sốsau đây là sốchính phương:

A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữsố1 n chữsố4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8

2n chữsố1 n+1 chữsố1 n chữsố6

2

2

ThuVienDeThi.com