Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia lớp 12 THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2014 - 2015 môn thi Toán

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2014

Câu 1 (3,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có nghiệm thực duy m nhất:

. 2 4 4 12 2( 1 3 ) x x x x m       

Câu 2 (4,0 điểm).

Cho dãy số thỏa mãn . { } nx

1 2

* 3 2 1

8 9 , 10 10

, n n n

x x

x x x n  

  

 

  N

Tính . lim nx Câu 3 (5,0 điểm). Cho không cân, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh ABC  ( , ) I r tương ứng tại . Gọi thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp , , BC CA AB , , D E F 1 1 1 , , A B C của . , , IBC ICA IAB    a/ Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. 1 1 1 , , A D B E C F b/ Gọi điểm đồng quy của ba đường thẳng là . Giả sử . 1 1 1 , , A D B E C F T AT IT  Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . IT 1 1 IB C Câu 4 (4,0 điểm).

Một số nguyên dương được gọi là “số đẹp” nếu tồn tại các số nguyên dương n

sao cho . , , , a b c d

4 4

4 4 2015 2015

a b n c d    a/ Chứng minh rằng có vô số “số đẹp”. b/ Số 2014 có là “số đẹp” hay không ? Câu 5 (4,0 điểm).

Xét các số nguyên dương thỏa mãn (1). Chứng minh rằng , , a b c 2013 a b c   ta có thể chia tập hợp các số nguyên dương thành 2014 tập con khác tập , đôi một rời  nhau sao cho cứ ba số thỏa mãn (1) thì có ít nhất hai số thuộc cùng một tập con. , , a b c

------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :…………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com