Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán lớp 12 chuyên - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho hàm số (C) . Chứng minh rằng với mọi đường thẳng luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến

với (C) tại A và B. Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:

Câu 4. (6,0 điểm)

a) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng

và điểm Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc

mặt phẳng (Q) sao cho . b) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM. Câu 5. (2,0 điểm)

Cho dãy số thỏa mãn điều kiện:

a) Chứng minh: là dãy số tăng.

b) Với mỗi , đặt . Chứng minh rằng với mọi .

------------- Hết ------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1 2 1 x y x    m y x m  

1 2 , k k

m 2016 2016 1 2 k k 

3 2 2 3 3 7 6 (3 7) 3 6 2. x x x x x x       

2

2

3

9 ( )( 2) 6.ln( ) 9

1 2

y y x y x x y y

x x

y x xy

        

       

, , x y z 0 x y  

2 2 2 3 3 1 4 . 2 2 2 3 ( ) ( 2) F

x y z z x y z        

Oxyz ( ) :3 2 -14 0, P x y z   

( ) : 2 -3 16 0 Q x y z      6;2;4 . M

2 30 ME EF FM   

( ) n u

1

2

1

3

2014 2016 2016

n n n

u

u u u 

     ( ) n u

1, n n  ¥

1 2

n n

n

u v u    1 n 

1 2 ... 2016. n v v v    

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

-------//-------

Câu Đáp án Điểm 4,0 đ

PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là (*) (vì

không là nghiệm)

Dễ thấy đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi .

2,0

1

Gọi là nghiệm của (*), ta có

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có . Dấu bằng xảy ra khi

. Vậy tại m=-1

2,0

2.a (2,5 đ)

Phương trình đã cho .

Đặt . Ta có hệ:

0,5

Vì nên .

Do đó (1).

0,5

Nếu đặt , khi đó (1) trở thành: .

Ta tìm được .

Do đó pt (1) nhận làm nghiệm.

1,0

Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm.

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là 0,5

2.b 2,5 đ

2

Giải hệ phương trình:

2 1 2 2 1 0 2 1 x x m x mx m x         1 2 x 

( ): d y x m   m

1 2 , x x 1 2 1 2 2 2 1 2

1 1 , , 1 (2 1) (2 1) k k k k x x     

2016 2016 1013 1 2 1 2 2( ) 2 k k k k   

1 2 1 2 2( ) 2 0 1 k k x x m        2016 2016 1 2 ( ) 2 Min k k  

3 3 ( 1) 4 5 (3 7) (3 7)( 1) 4 5 x x x x x x          

3 1, (3 7)( 1) 4 5 u x v x x x       

3

2 2

3

4 5 (3 7) ( )( 3 7) 0 4 5 (3 7)

u x x v u v u uv v x v x x u

                  

2 2 2 2 3 18 31 3 7 ( ) 0, 2 4 u x x u uv v x v x            u v 

3 2 3 1 3 6 2 3 1 x x x x x         2;2 x 2cos ( [0; ]) x     3 8cos 6cos 1    

5 7 ; ; 9 9 9    

5 7 2. os ;2. os ;2. os 9 9 9 x c c c    

5 7 {2cos ;2cos ;2cos } 9 9 9 S    

2

2

3

9 ( )( 2) 6.ln( ) (1) 9

1 2 (2)

y y x y x x y y

x x

y x xy

        

       

ThuVienDeThi.com