Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn năm học 2004 2005 môn thi Toán (lớp chuyên toán)

µ BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ..........................................1.............................................................Bùi Văn Chi µ

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Năm học 2004 – 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Lớp chuyên toán) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 15 – 07 – 2004 Bài 1 (1,5 điểm)

Giải phương trình: 1 1 4 6 0 x x x x   + − + + =    

Bài 2 (2 điểm) Xác định các hệ số a và b để đa thức: x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác. Bài 3 (2,5 điểm)

Cho 1 1 1 1

2 3 100 S= + + + + ⋯

Chứng minh S không phải là số tự nhiên. Bài 4 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn vuông góc với ON. Định vị trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất. Bài 5 (1,5 điểm) Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền: loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 em. Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc? Ghi chú: Bài 4 thiếu điều kiện AD ≥ AB/2.

ThuVienDeThi.com

µ BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ..........................................2.............................................................Bùi Văn Chi µ

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH Năm học : 2004 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 2004 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)

Giải phương trình: 1 1 4 6 0 x x x x   + − + + =     (1) (Điều kiện x > 0)

Đặt 1 t x

x = + ( t ≥ 2) ⇒ 2 2 1 1 2 2 t x x t x x = + + ⇔ + = −.

Phương trình (1) viết lại:

(1) ⇔ t2 – 2 – 4t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ 1 2 x x + = ⇔ x = 1

Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Bài 2 (2 điểm) Theo điều kiện bài toán, ta có: x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = (x2 + cx + 1)2 ⇔ x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = x4 + 2cx3 + (2 + c2)x2 + 2cx + 1

⇔ 2 2 6 3

2 11

2 6

c c

c a a

b c b

=−  =−    + = ⇔ =     = =−  

Vậy a = 11, b = -6, khi đó x4 – 6x3 + 11x2 -6x + 1 = (x2 -3x + 1)2 Bài 3 (2,5 điểm)

Chứng minh 1 1 1 1

2 3 100 S= + + + + ⋯ không là số tự nhiên

Trước hết ta chứng minh k = 1 1

1 n n +

+

là số vô tỉ, ∀ n ∈ N*

Ta có: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, ∀n ∈ N* ⇒ n(n + 1) không chính phương ⇒ ( 1) n n+ là số vô tỉ dương.

Ta chứng minh bằng phản chứng:

Giả sử 1 1

1 n n +

+

= k là số hữu tỉ.

Suy ra 1 ( 1) n n k n n + + = + ⇒ 2n + 1 + 2 ( 1) n n+ = k2n(n + 1) (1) (n ∈ N*)

Vì 2 ( 1) n n+ là số vô tỉ ⇒ vế trái (1) là số vô tỉ, còn vế phải(1) là số hữu tỉ: vô lý.

Do đó k = 1 1

1 n n +

+

là số vô tỉ dương, ∀ n ∈ N*

Suy ra 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 99 100 S       = + + + + + +             ⋯ là số vô tỉ dương.

Vậy S không là số tự nhiên.

ThuVienDeThi.com