Đề chính thức thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 - 2016 môn Toán (chuyên tin)

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1(2,0 điểm).

Cho biểu thức: 2x : 1 1 1 1 x y x y x y y P xy xy xy

                       (với ) . 0, 0, 1 x y xy    a) Rút gọn biểu thức . P b) So sánh và . P P Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình:

2 2 2 2 0

2 2 1 4 0

x y xy x y

x y

 

    

  

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): và đường thẳng (d) có 2 y x  phương trình . Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy. y x m   Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích m tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: . ( ; ) x y 2 3 2 3 6 3 10 2 x y x y    Câu 4 (4,0 điểm).

Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Vẽ tứ giác nội tiếp   O;R AD ABCD nửa đường tròn . Gọi là giao điểm của và ; là hình chiếu của   ; O R I AC BD K I trên . AD

a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . I BCK b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: . F CK BD . . BI DF BD IF 

c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh: . E ID 2 . ED EB EF 

d) Tính biết chu vi tam giác ABD lớn nhất. ABCD Câu 5 (1,0 điểm).

Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh : , , a b c a 3 b c   

.       2 2 2 1 1 1 3 4 a b b c c a      

---HẾT---

Họ và tên thí sinh: ........................................................Số báo danh: ...........................

Giám thị 1: ...............................................Giám thị 2:...................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)

( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )

Câu Nội dung Điểm Câu 1        

1 1 1 2 : 1 1 1

x y xy x y xy P xy

                   

0,5

2 2 1 . 1 1 x y x xy xy x y xy       

0,5

a) 1,25 điểm

    

2 1 2 1 1 1 x y x x y x       0,25

Ta có : 0 0 P x   0,25

Lại có với nên 1 2 x x  0 x  2 2 1 1 2 x x P x x    

0,25 b) 0,75 điểm

Vậy . 0 1 P P P    0,25 Câu 2

ĐK : 1 0; 2 x y  

Phương trình thứ nhất tương đương với ( 2 )( 1) 0 x y x y    

2 ( )

1

x y l

x y

    

0,25

Với Thế vào phương trình thứ hai ta được 1 x y  

2

1 2 2 1 4 0

8 1 7 19

19

7 49 330 425 0

y y

y y

y

y y

  

  

   

    

0,25

19

7

5

85 ( ) 49

y

y

y l

      

 

    

0,25

a) 1,0 điểm

Với thì . 5 y  4 x 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    ; 4;5 x y  0,25

b) Phương trình hoành độ giao điểm 2 0 (1) x x m    0,25

ThuVienDeThi.com

2

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt

x1, x2. Điều kiện là 1 1 4 0 4 m m    

Gọi Theo Vi-ét :    1 1 2 2 ; , ; A x x m B x x m   1 2 1 2 1; x x x x m    (d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m 0. 

0,25

Diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN khi và chỉ khi

2 2 2 2 2 1

2 2 1 2 1 2

2

2( ) 2

( ) 4

4 1 0

AB MN AB MN x x m

x x x x m

m m

     

   

  

0,25

1,0 điểm

( thoả mãn) 2 5 m    0,25 Câu 3

2 3 2 3

3 2 2

2 3

6 3 10 2

2 (3 5) (3 5) 7

(3 5)(2 1) 7

x y x y

y x x

x y

  

    

   

0,25

2 2 2 2

3 3 3 3 3 5 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7 ; ; ; 2 1 7 2 1 7 2 1 1 2 1 1

x x x x

y y y y

                               

0,25

2

3

4 2

1 1

x x

y y

            

0,25

1,0 điểm

Vậy .        ; 2; 1 ; 2; 1 x y     0,25 Câu 4

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A 0 90 ABD 

(gt) A 0 90 AKI 

Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp A A IBK CAD  

0,25

Lại có (cùng chắn ) A A IBC CAD  ACD

Suy ra BI là phân giác góc A A IBK IBC   …