Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên quốc học Thừa Thiên Huế môn Toán

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

Sưu tầm: Võ Thạch Sơn

Sở Giáo dục và đào tạo KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC

Thừa Thiên Huế Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm)

Giải hệ phương trình:

  

 

 

8 2

8 2

2

2

x y

y x

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình: luôn có 4 nghiệm   4 2 2 4 2 2 3 0 x m x m     

phân biệt với mọi giá trị của . 1 2 3 4 , , , x x x x m

Tìm giá trị sao cho . m

2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 11 x x x x x x x x        

Bài 3: (3 điểm) Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M P, M   Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của  hình vuông PQRS tại N.

1. Chứng tỏ rằng: . A A A ERF QRE +SRF  2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định. 3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.

Bài 4: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho đẳng thức sau đúng: ,p q

1 2 3 2        q p pq q p

Bài 5: (1 điểm) Chứng minh với mọi số thực luôn có: , , x y z

  2 x y z y z x z x y x y z x y z              

Hết

ThuVienDeThi.com

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

1

Sở Giáo dục và đào tạo KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC Thừa Thiên Huế Môn: TOÁN - Năm học 2007-2008

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

BÀI NỘI DUNG Điể m B.1

  

 

 

8 2

8 2

2

2

x y

y x (2đ)

Ta có : .    2 2 2 2 0 x y y x     0,25

Hay .    2 0 x y x y     0,25

+ Nếu , thay vào phương trình đầu thì: 0 x y   y x 

2 2 2 8 2 8 0 x x x x      

0,25

Giải ra : 4; 2 x x   0,25 Trường hợp này hệ có hai nghiệm : ;    ; 4; 4 x y      ; 2;2 x y  0,25

+ Nếu , thay vào phương trình đầu thì: 2 0 x y    2 y x  

.   2 2 2 2 8 2 4 0 x x x x        0,25

Giải ra: . 1 5; 1 5 x x   0,25 Trường hợp này hệ có hai nghiệm:

;    ; 1 5;1 5 x y      ; 1 5;1 5 x y   0,25

B.2 (1)   4 2 2 4 2 2 3 0 x m x m      (2đ)

Đặt : , ta có : (2) ( ) . 2 t x    2 2 4 2 2 3 0 t m t m      0 t  0,25

Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm : . 1 2 0 t t   0,25

với mọi .Vậy (2) luôn có hai nghiệm    2 2 4 2 ' 2 3 4 1 0 m m m       m

phân biệt . 1 2 , t t

0,25

với mọi . 4 1 2 3 0 t t m     m 0,25

với mọi .   2 1 2 2 2 0 t t m     m 0,25

Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm : , , , . 1t  1t  2t  2t 

    

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x t t t t t t t t               

  1 2 1 2 2 t t t t     0,25

.   2 2 2 2 2 4 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2 3 4 11 x x x x x x x x m m m m               0,25

2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 11 4 11 11 4 0 0 x x x x x x x x m m m m m                  0,25

ThuVienDeThi.com

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

2

B.3 3 đ Câu3.1 (1đ) Hình vẽ đúng 0,25

Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM .

(3) A A A 0 45 ERF MRF MQF    0,25

F nằm trong đọan ES.

A A A 0 90 QRE ERF FRS   

Do đó : (4) A A 0 45 QRE SRF  

0,25

Từ (3) và (4) : . A A A ERF QRE SRF  

0,25

Câu3.2 (1đ) Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P. 0,25

Ta có : . Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính NR. A A 0 45 NSE NRE   0,25

Ta cũng có: . Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường A A 0 45 FME FNE   kính MN.

0,25

Do nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P. A 0 90 MPN  0,25

Câu3.3 (1đ) Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó : . A A DRM ENM 

0,25

Ta có: (do M, N, F, E ở trên một đường tròn); A A ENM EFM 

(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra: A A A EFM QFM QRM  

. D nằm trong đọan MN. A A DRM QRM 

0,25

Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra …