Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi năm học 2015 - 2016 môn thi Toán (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho . Tính giá trị của biểu thức: 29 12 5 2 5 a b    

2 2 ( 1) ( 1) 11 2015 A a a b b ab      

2) Cho là hai số thực thỏa mãn . ,x y 2 2 (1 )(1 ) 1 xy x y    

Chứng minh rằng . 2 2 1 1 0 x y y x    

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình . 2 2 3 4 9 2 2 2 4 1 x x x x x        

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 5 2 2 1 3 3

1 4 5 2 2

x y xy x y y x x

x y x y x y

          

       

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên thỏa mãn . ,x y 4 2 2 20 0 x x y y     

2) Tìm các số nguyên k để là số chính phương. 4 3 2 8 23 26 10 k k k k    

Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia

đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn

(O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.

1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của

góc . AMIN

2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . 2 1 1 AK AB AC  

3) Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là

P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.

Câu V (1,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . ,a b 3 ( ) 4 12 a b ab   

Chứng minh bất đẳng thức . 1 1 2015 2016 1 1 ab a b     

----------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh...........................................

Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

I 1

Cho . Tính giá trị của biểu thức: 29 12 5 2 5 a b    

2 2 ( 1) ( 1) 11 2015 A a a b b ab      

1,00

 

2 29 12 5 2 5 3 2 5 2 5 3 2 5 2 5 3 a b            0,25

3 3 2 2 11 2015 A a b a b ab       0,25

2 2 2 2

2 2 2 2 ( )( ) 11 2015

3( ) 11 2015

a b a b ab a b ab

a b ab a b ab

       

      

0,25

2 2 2 4( 2 ) 2015 4( ) 2015 2051 a ab b a b         0,25

I 2

Cho là hai số dương thỏa mãn . ,x y 2 2 (1 )(1 ) 1 xy x y    

Chứng minh rằng 2 2 1 1 0 x y y x    

1,00

2 2 2 2 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) 1 xy x y x y xy       

2 2 2 (1 )(1 ) (1 ) x y xy     

0,25

2 2 2 2 2 2 1 1 2 x y x y xy x y      0,25

2 2 2 2 0 ( ) 0 x y xy x y y x          0,25

2 2 2 2 1 1 1 1 0 x y y x x x x x          0,25

II 1 Giải phương trình . 2 2 3 4 9 2 2 2 4 1 x x x x x         1,00

Pt . ĐK: 2 3 ( 2)(4 1) 2 2 4 1 x x x x x          1 4 x  0,25

Đặt (hoặc ) 2 2 4 1, 7 t x x t      0 t 

2 2 9 8 4 ( 2)(4 1) 9 2 ( 2)(4 1) 4 t t x x x x x x            

PTTT hoặc 2 4 3 0 1 t t t      3 t 

0,25

TH1. giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK bị loại 1 t  7 t  0,25

TH 2. . Giải pt tìm được (TM) 3 2 2 4 1 3 t x x       2 9 x 

Vậy pt có nghiệm duy nhất 2 9 x 

0,25

II 2 Giải hệ pt

2 2

2 2 5 2 2 1 3 3

1 4 5 2 2

x y xy x y y x x

x y x y x y

          

       

1,00

ThuVienDeThi.com