Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh lớp 9 vòng 1 năm học 2015 2016 - Môn Toán

PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 – VÒNG 1 NĂM HỌC 2015 – 2016 - Môn: TOÁN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2, 0 điểm)

a) Giải phương trình : . 0 24 ) 10 )( 6 )( 5 )( 3 ( 2       x x x x x

b) Chứng minh rằng: Nếu a, b,c thỏa mãn a+b+c = 2015 và . 2015

1 1 1 1    c b a

thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015.

Câu 2 (3, 0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: . 1 8  x x

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: chia hết cho 9. 1 15 4   n n

c) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0<x<y z<1 và 3x+2y+z 4.   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 2 2 2 2 3 z y x  

Câu 3 (2, 0 điểm):

a) Cho x,y,z thỏa mãn : x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) . 3 4 

Chứng minh rằng : x+y+z 4 

b) Tìm số nguyên dương n để tổng là số chính phương. 1 2 3 4     n n n n

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng 120 .Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 0

bằng 15 và cắt cạnh BC tại M,cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh 0

. 2 2 2

4 3 3

AB AN AM  

Câu5 (2,0 điểm)y d

Cho tam giác ABC vuông A, AB=AC=a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E AB; F AC.  

a) Tính góc MCF.

b) Từ M vẽ đường thẳng MN EF (N EF). Chứng minh rằng MN luôn đi qua   một cố định.

---- Hết ---- Họ và tên thí sinh: .................................................................SBD: ..................

(Học sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đề thi gồm 04 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 – VÒNG 1 NĂM HỌC 2015 – 2016 - Môn: TOÁN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu Đáp án Thang điểm

1

a) GPT đã cho tương (x )( 30 13 2   x 0 24 ) 30 11 2 2     x x x

) ( 0 30 7

0 ) 30 17 )( 30 7 (

0 25 ) 30 12 (

0 24 ) 30 12 )( 30 12 (

2

2 2

2 2 2

2 2 2

vn x x

x x x x

x x x

x x x x x x x

   

     

    

        

hoặc 0 30 17 2    x x

hoặc x=15 2  x

b) Từ gt suy ra c b a c b a      1 1 1 1

 0 ) 1 1 ( ) 1 1 (       c b a c b a  0 ) (   

  

c b a c

b a ab

b a

=0   ab c b a c b a      ) ( ) ( 0 ) )( )( (      a c c b b a

a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0 . 

Nếu a+b=0 mà a+b+c=2015 suy ra c=2015

Nếu b+c=0 mà a+b+c=2015 suy ra a=2015

Nếu c+a=0 mà a+b+c=2015 suy ra b=2015

Vậy một trong 3 số a,b,c có một số bằng 2015

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2

a) Ta có: 1 1 2 2 8 8        x x x x x x

= )1 ( )1 ( 2 6 2     x x x x

= + )1 )( 1 )( 1 ( 3 2 2     x x x x x )1 ( 2  x x

=( )1 )( 1 2 3 5 6 2       x x x x x x

0,25

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

b) Số tự nhiên n khi chia cho 3 có số dư có thể là 0,1,2 nên n xảy ra một

trong 3 trường hợp: n=3k,n=3k+1,n=3k+2 (k ). N 

Nếu n=3k ta có:

) ( 9 ) 45 63 (

45 )1 64 ( 1 3. 15 4 1 15 4 3

N m k m

k k n k k n

  

       



Nếu n=3k+1 ta có: 4 18 45 )1 64 ( 4 1 )1 3 .( 15 4 1 15 1 3            k k n k k n

=4.63m+45k+18 ) ( 9 N m  

Nếu n=3k+2 ta có:

) ( 9 45 45 63 . 16 45 45 )1 64 ( 16

1 ) 2 3 .( 15 4 1 15 4 2 3

N m k m k

k n

n

k n

       

      



c) Đặt A= . 2 2 2 2 3 z y x   Từ 3x+2y+z 4 và x>0 suy ra (1)  x xz xy x 4 2 3 2    Mặt khác ,do 0<x<y z<1 nên:  2y(y-x) 2(y-x) (2)  z(z-x) z-x (3)  Cộng theo từng vế của (1), (2),(3) ta có: A x+2y+z.  Áp dụng BĐT Bu –nhi- a-cốp –xki ta có:

A (x+2y+z) = 3 10A 2  2 ) 2 3 )( 1 2 3 1 ( 2 2 2 z y x     

Nên A . 3 10 

A= khi x= ; y=z=1. 3 10

3 1

Vậy giá trị lớn nhất của A là 3

10

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

3 a) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

(x+y+z) 2 ) )( 1 1 1( 2 2 2 2 2 2 z y x      ) ( 3 ) ( 2 2 2 2 z y x z y x      

Theo gt : 3 4 ) ( 2 2 2       z y x z y x

Từ đó suy ra : 3 4 ) ( ) ( 3 1 2       z y x z y x

Đặt A=x+y+z ta có: 0 4 3 3 4 3 1 2 2       A A A A

 0 ) 4 …