Đề thi chọn hsg trường năm học 2015 - 2016 môn Toán 9 - Trường THCS Nguyễn Tất Thành

UBND HUYỆN CAN LỘC TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán 9 ( Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

A = ; 20 6 29 3 5   

B = + + ( với a  0 )

Câu 2. a, Giải các phương trình: 4 = x2 - 5x + 14 x + 1 b, Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )

Câu 3. a, Chứng minh rằng biểu thức M = luôn nhận giá trị nguyên 15

x 2 6 x 30 x 3 5

 

với mọi x Z.  b, Cho ba số a,b,c khác 0, thõa mãn: + + = 0

Tính giá trị biểu thức: P = + +

Câu 4. Cho hình vuông ABCD ( cạnh bằng a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.

a, Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh. b, Chứng minh: AK2 = KC . KE. c, Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi.

d, Tia AM cắt đường thẳng CD ë G. Chứng minh rằng không phụ 2 2

1 1

AG AM 

thuộc vào vị trí của điểm M.

Câu 5. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng:

2 2 1 1 8 x y x y                 Dấu “ = “ xảy ra khi nào?

Trường THCS Nguyễn Tất Thành

ThuVienDeThi.com

Từ (2) và (3) suy ra:

2 2 1 1 8 x y x y                

Bài toán phụ: Chứng minh rằng a2 + b2 (a + b)2 (1) 1 2 

Chứng minh: (1) 2a2 + 2b2 a2 + 2ab + b2   a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0     Áp dụng bài toán phụ (1), ta có:

(2)

2 2 2 1 1 1 1 1 2 x y x y x y x y                         

Mà (vì x + y = 2)

2 2 2 1 1 2 2 2 x y x y x y xy xy                          

Với x, y > 0, ta có

2 (x + y) 0 < xy 4 

(vì (x – y)2 0 (x + y)2 4xy)   

1 xy  2 4 ( ) x y  

2 xy  2 8 ( ) x y  

(vì x + y = 2)    

2

2

2 2 8 2 2 2 2 16 xy x y

                     

(3) 

2 1 1 16 x y x y          

ThuVienDeThi.com