Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG lớp 8 môn Toán

1

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của

biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một

giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu

thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

Xét biểu thức ( ) A x

+) Ta nói ( ) A x có giá trị lớn nhất là M, nếu

( ) A x M x   và có giá trị x0 sao cho 0 ( ) A x M = (Chỉ ra 1 giá trị là được)

+) Ta nói ( ) A x có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

( ) A x m x   và có giá trị x0 sao cho 0 ( ) A x m = (Chỉ ra 1 giá trị là được)

Như vậy :

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :

- Chứng minh A k  với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :

- Chứng minh A k  với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

Ví dụ: Sai lầm

2

2 2 2 ( ) 2 2 3 ( 1) 2 2 2 A x x x x x GTNN = − + = + − +   = ( Không chỉ ra được dấu = )

Đáp án đúng là : 2 1 5 5 5 1 ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 A x x GTNN x = − +   =  =

B. Các dạng toán

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai 2 ax bx c + +

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. 2 ( ) 4 24 A x x x = − + b. 2 ( ) 2 8 1 B x x x = − +

c. 2 ( ) 3 1 C x x x = + −

Lời giải

a. 2 2 ( ) 4 24 ( 2) 20 20 min ( ) 20 2 A x x x x x A x x = − + = − +   =  =

b. 2 2 2 ( ) 2 8 1 2( 4 4) 7 2( 2) 7 7 minB 7 2 B x x x x x x x = − + = − + −= − −− = − =

c. 2 2 1 13 13 1 ( ) 3 1 3( ) 6 12 12 6 C x x x x x − − = + −= + −   =

Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau

a. 2 ( ) 5 4 1 A x x x = − − + b. 2 ( ) 3 1 B x x x = − + +

Lời giải

a. 2 2 2 4 1 2 9 9 2 ( ) 5 4 1 5( ) 5( ) 5 5 5 5 5 5 A x x x x x x x − = − − + = − + − = − + +   =

b. 2 2 1 13 13 1 ( ) 3 1 3( ) 6 12 12 6 B x x x x x = − + + = − − +   =

3

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2

Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. 4 3 2 ( ) 6 10 6 9 A x x x x x = − + − + b. 4 3 2 ( ) 10 26 10 30 B x x x x x = − + − +

c. 4 3 2 ( ) 2 3 4 2017 C x x x x x = − + − + d. 4 2 ( ) 2 7 D x x x x = − + +

e. 4 3 2 ( ) 4 9 20 22 E x x x x x = − + − + f. ( ) ( 3)( 4)( 7) F x x x x x = − − −

g. ( ) ( 1)( 2)( 3)( 6) 2006 G x x x x x = − + + + −

Lời giải

a. 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 ( ) 6 10 6 9 ( 6 9 ) ( 6 9) ( 3 ) ( 3) 0 A x x x x x x x x x x x x x x = − + − + = − + + − + = − + − 

2 3 0 min ( ) 0 3 3 0 x x A x x x

 − =  =   = − = 

b.

2 4 3 2 2 2 2 5 0 ( ) 10 26 10 30 ( 5 ) ( 5) 5 5 5 5 0 x x B x x x x x x x x x x

 − = = − + − + = − + − +    = − = 

c. 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 2015 ( 2)( 1) 2015 2015 1 C x x x x x x x x x = + − + + + + = + − +   =

d. 4 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 5 ( 1) ( 1) 5 5 1 D x x x x x x x x = − + + + + + = − + + +  = −

e.

4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 ( ) 4 9 20 22 ( 4 4 ) 5( 4 4) 2 ( 2 ) 5( 2) 2 2 2 E x x x x x x x x x x x x x x = − + − + = − + + − + + = − + − +   =

f. 2 2 2 1 ( ) ( 3)( 4)( 7) ( 7 )( 7 12) 36 36 0 6 x F x x x x x x x x x y y x

=  = − − − = − − + = − −  = = 

g. 2 2 2 2 0 ( ) ( 5 6)( 5 6) 2006 ( 5 ) 2042 2042 5 x G x x x x x x x x

=  = + − + + − = + − − = − 