Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: ( )

2 1 + = a a k

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 0 x x y + − = HD:

( )

2 1 x x y + = => 0 1 0 x x

=  + = 

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 3 x y xy x y + + = HD:

( ) ( ) 2 2 2 1 x y x y xy xy xy + = − = − Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 1 x y x y − −+ = HD:

( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x x y y y x x − = − + = − = −

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 x xy y x y + + = HD:

( ) ( ) 2 2 2 1 x y x y xy xy xy + = + = +

2 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 8 8 4 8 0 x y xy y + + + −= HD:

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 9 0 3 x y y + + + = = +

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 8 x y x y + −− = HD:

Nhân với 4 ta được:( ) ( ) 2 2 4 4 1 4 4 1 34 x x y y − + + − + =

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 5 169 x xy y − + = HD:

( )

2 2 2 169 x y y − + = Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 5 2 4 3 0 x y y xy + + − −= HD:

( ) ( ) 2 2 2 1 4 x y y − + + = Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 2 13 6 100 x y xy + − = HD:

( )

2 2 3 4 100 x y y − + =

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6 2 3 2 2 64 x y x y + − = HD:

( )

2 2 64 t t y + − = nếu đặt 3x t =

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 1 1 4 x y x y + + + =

HD:

2 2 1 1 4 x y x y

    − + − =          

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( )( ) 2 2 2 2 1 4 x x y x y + + =

HD:

( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 0 x x y x y x y x y x y + + + = = − + − = Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 2 2 2 2 2 6 5 0 x y xy y x + − + − + = HD : ( ) 2 2 2 2 6 2 5 0 x xy y x y x − + − + + + = => ( ) ( ) 2 2 2 4 5 0 x y x y x x − − − − + + =

=> ( ) ( ) 2 2 1 2 0 x y x − − + − =

Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 2 4 2 0 x y x y + − − + = HD:

( ) ( ) 2 2 2 1 4 4 1 0 x x y y − + + − + =

Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:

2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0 x y z xy xz yz y z + + − − + − − + = HD:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 6 10 34 0 x x y z y yz z y y z z − + + + + + − + − + =

3 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

=> ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 9 10 25 0 x x y y y z z − − + − + + − + =

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 8 x y x y + −− = HD:

( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 17 2 1 2 1 34 4 4 2 x x y y x y     − + + − + = = − + − =        

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 9 13 20 m n m n + = + − HD:

Nhân 4 ( ) ( ) 2 2 4 36 81 4 52 169 170 m m n n − + + − + =

Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 6 13 100 x xy y − + = HD:

2 2 ( 3 ) 4(25 ) x y y − = − , mà 2 2 25, y y  là số chính phương nên =>y Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 4 5 16 0 x xy y − + − = HD :

Ta có phương trình trở thành : 2 2 4 5 16 0 x xy y − + − =

=> ( )

2 2 2 2 2 4 4 16 2 16 x xy y y x y y − + + = = − + = , Vì x,y là số nguyên nên ( ) 2 x y Z − 

=> ( )

2 2 2 16 0 16 16 0 x y y − + = = + = +

Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 2 2 2 5 60 37 x y x y xy + + + = HD:

( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 35 60 5 3 4 x y x y xy x y xy xy − = − + − = − = − −

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT 0 => ( )( ) 5 3 4 0 3 4 xy xy xy − −  =  . Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4 Nếu xy=3 thì ( )

2 0 x y x y − = = = và xy=3( vô lý)

Nếu xy=4 thì ( )

2 0 2 x y x y − = = = = Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:

2 2 10 20 24 8 24 51 0 x y xy x y + + + − +  HD:

Biến đổi: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 4 2 6 1 0 x y x y + + + + − − khi 3 4 0, 4 0,2 6 0 x y x y + = + = − =

Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 8 3 18 x y x y + − + = − Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 5 29 30 10 x x y + − = Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: ( ) 2 2 1 1567 y x x + = +

Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 2 3 3 7 0 x xy x y + − − + = Bài 22: Chứng minh rằng không có các số nguyên x,y,z thỏa mãn :

2 3 2 4 4 8 2 4 x x y z + = − + HD:

Ta …