Chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR:

2 . . BH BD CH CE BC + = HD: Từ H kẻ HK BC ⊥ Khi đó:

( ) . . . CH CK CKH CEB g g CH CE CK CB CB CE   = = = = (1)

Tương tự:

( ) . . . BH BK BKH BDC g g BH BD BK BC BC BD   = = = = (2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

( )

2 . . VT CK BC BK BC BC BK KC BC = + = + =

Bài 2: Cho BHC có BHC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D CMR:

2 . . BH BD CH CE BC + = HD: Kẻ: ( ) . HG BC CGH CEB g g ⊥ = 

=> . . CH CG CH CE BC CG CB CE = = = (1)

Tương tự ta có: ( ) . BGH BDC g g  

=> . . BH BG BH BD BC BG BC BD = = = (2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được: VT ( )

2 . . BC CG BC BG BC CG GB BC = + = + =

Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: 1 1 1 AB AC AD + =

HD: Kẻ ( ) / / DE AB E AC ADE  = là tam giác đều ABC  có :

/ / 1 1 DE CE AD AC AE AE AD DE AB AB CA AB AC AC AC − = = = = = − = −

1 1 1 1 AD AD AB AC AB AC AD = + = = + = (đpcm)

A

H

B C

D

E

K

H

B C

E

D

K

B

A C

D

E

2 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của ABC,

biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: ' ' ' ' ' AM AB AC A M CB BC = +

HD: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:

AME  có / / ' ' 'C AM AE AE A C A M A = = (1)

AMD  có / / ' 'M ' AM AD AD A B A A B = = (2)

Từ (2) và (2) ta có:

' ' ' ' ' AM AE AD AD AE DE A M A C A B A C A B BC + = = = = + (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

'D AB  có ' / / BC ' AB AD AD B C BC = = (3)

' AC E  có: ' / / ' AC AE AE BC C B BC = =

Từ (3) và (4) ta có: ' ' 'C ' AB AC AD AE DE B BC BC BC BC + = + = (**)

Từ (*) và (**) => ' ' ' ' ' AM DE AB AC A M BC B C BC = = + (đpcm)

Bài 5: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR:

2 ' ' ' AM BM CM AA BB CC + + =

HD: Từ A, M vẽ , / / AH MK BC AH MK ⊥ =

' A AH  có: ' . ' .

MBC

ABC

S A M MK MK BC A A AH AH BC S = = =

Mặt khác: ' ' AM 1 ' ' '

MBC

ABC

S A M AA AM A A AA A A S − = = − =

1 '

MBC

ABC

S AM A A S = = −

Chứng minh tương tự:

1 , 1 ' '

MAC MAB

ABC ABC

S S BM CM BB S CC S = − = −

Cộng theo vế ta được đpcm

C'

C

B'

M

A

B

D E

A'

A

B C

M

A'

B'

C'

H K

3 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

Bài 6: Cho ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam

giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : ' ' ' 3 ' ' ' MA MB MC GA GB GC + + =

HD: Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC

'GI A  có: ' / / ' A M MD MD GI A G GI = = (1)

1 A AI  có ( ) 1 / / 3 1 3 A M MD MD MD GI AI GI A A AI GI = = = = (2)

Từ (1) và (2) ta có: ' 3 1 ' 1 A M A M A G A A =

Chứng minh tương tự ta có:

' 3. 1 ' 3. 1 1 1 1 , 3 ' 1 ' 1 1 1 1 MB B M MC C M A M B M C M VT GB B B GC C C A A B B C C   = = = = + +    

mà ta có: từ bài 6 => 1 1 1 1 3 1 1 1 A M B M C M VT A A B B C C + + = = =

Bài 7: Cho ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a, CMR: AEF đồng dạng ABC b, H là giao các đường phân giác của DEF c,

2 . . BH BE CH CF BC + = HD:

a, Ta có: ( ) . AE AB AE AF AEB CFC g g AF AC AB AC   = = = =

=> ( ) . . AEF ABC c g c  

b, Chứng minh tương tự ta cũng có:

, CED CBA   (c.g.c) và BFD BCA   (c.g.c)

=> Do AEF ABC AEF ABC CED   = = =

Mà: ( ) 0 90 BEF AEF BED CED BED BEF + = + = = = => HE là phân giác góc E

Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D

c, ( ) . . . BH BD BHD BCE g g BH BE BD BC BC BE   = = = = (1)

và ( ) . . . CH CD CDH CFB g g CH CF CD CB CB CF   = = = = (2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm

C'

A

B C A' I

G

B'

M

A1 D

2 1

2

1

H

A

B C D

E

F