Đề học sinh giỏi huyện lớp 7 môn Toán năm 2016 2017 phòng GD ĐT Quốc Oai Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán 7 Năm học 2016 - 2017

Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

Họ và tên: …………………………………….………..……..…SBD:.............…

Câu 1 (4 điểm) Tìm x:

a/ 1 4 2 5 x    b/ 1 6 1 2 5 5 2 x x    c/

2 8 ( 3) ( 3) 0 x x x x      

Câu 2 (3 điểm) Tìm x, y, z biết x y z 2 3 4   và x2 + y2 + z2 = 116.

Câu 3 (1 điểm) Trong vòng bán kết giải bóng đá của trường THCS Phù Đổng có 4 đội thi đấu, gọi A là tập hợp các cầu thủ; B là tập hợp các số áo thi đấu. Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ có phải là một hàm số không? Vì sao?

Câu 4 (1.5 điểm) Tính giá trị của đa thức P =

3 2 2 2 2 3 2017        x x y x xy y y x

với 2   x y

Câu 5 (2 điểm) Cho : 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4 3 2      . Chứng minh: x y z 2 3 4  

Câu 6 (1.5 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77

Câu 7 (2.5 điểm) Cho ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết 

0 ADB 85 

a/ Tính:   B C 

b/ Tính các góc của ABC nếu   4.B 5.C 

Câu 8 (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ

AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC. a/ Chứng minh: BD = CE

b/ Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: ADE = CAN.

c/ Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh:

2 2

2 2 AD IE 1 DI AE   

Chú ý: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay.

PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017

Hướng dẫn chấm Toán 7

Câu Phần Nội dung Điểm

1

a

1 x 4 2 5     1 x 2 5   

1 x 2 5 1 x 2 5

      



9 x 5

11 x 5

      

Vậy với x = 9

5 hoặc x = - 11

5 thì 1 x 4 2 5   

1.5đ

b 2x - 1

5 = 6

5 x - 1

2  4

5 x = - 3

10  x = - 3

8 1đ

c (x - 3)x+2 - (x - 3)x+8 = 0  (x - 3)x+2 [1- (x - 3)6 ] = 0



 

6

x 3 x 3 0

x 4 x 3 1 x 2

               

1.5đ

2

x

2 = y

3 = z

4  x2

4 = y2

9 = z2

16 = x2 + y2 + z2

4 + 9 + 16 = 116

29 = 4

2 2 2 x y z x y z 4 2 4 9 16 2 3 4        

Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) hoặc (x; y; z) = (-4; -6; -8)

1đ

1đ

1đ

3 Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ không là một hàm số vì đại lượng cầu thủ không phải là các giá trị bằng số. (trả lời đúng giải thích sai không có điểm)

1đ

4 P = x3 + x2 y - 2x2 - xy - y2 + 3y + x + 2017

= x2 (x + y) - 2x2 - y(x + y) + 3y + x + 2017

= 2x2 - 2x2 - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019

Vậy với x + y = 2 thì P = 2019

Hoặc nhóm để xuất hiện x + y - 2

1.5đ

5 3x -2y

4 = 2z - 4x

3 = 4y - 3z

2

 12x - 8y

16 = 6z - 12x

9 = 8y - 6z

4 = 12x - 8y + 6z - 12x + 8y - 6z

16 + 9 + 4 = 0

 12x = 8y = 6z 12x 8y 6z 24 24 24   

 x

2 = y

3 = z

4

0,5

0,5

0,5

0,5

6 2x2 + 3y2 = 77  3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77  y2 ≤ 77/3  y2 ≤ 25

Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ  3y2 lẻ  y2 lẻ  y2  {1; 9; 25}

+ y2 = 1  2x2 = 77 - 3 = 74  x2 = 37  không có số tự nhiên x

+ y2 = 9  2x2 = 77 - 27 = 50  x2 = 25  x = 5 và y = 3

+ y2 = 25  2x2 = 77 - 75 = 2  x2 = 1  x = 1 và y = 5

Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x2 + 3y2 = 77 là (x; y) = (5; 3); (1; 5)

Học sinh lần lượt thử chọn các số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, ... để có được KQ sẽ không được điểm vì không thể hiện được năng lực tư duy số học.

0.5đ

1đ

7 a Xét ADC có  ADB là góc ngoài tại D

    ADB C DAC   = 850 (1)

Xét ADB có  ADC là góc ngoài tại D

    ADC B BAD   = 1800 - 850 = 950 (2)

Mà   DAC BAD  (Vì AD là tia phân giác của góc A)

 Từ (1) và (2)    0 0 B C 95 85    = 100

1.5đ

b

Vì   0 B C 10   mà 4. B = 5. C 

   

0 B C B C 10 5 4 5 4     

  0 B 50  và  0 C 40    0 A 90 

1đ

8 a Xét ABD và ACE có:

AD = AC (gt)

AE = AB (gt)

  BAD CAE  (Cùng phụ với  BAC )

 ABD = AEC (c.g.c)

 BD = CE (Hai cạnh tương ứng)

Vẽ hình 0.5đ

1đ

b) Xét ABM và NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt)   AMB AMC  (đối đỉnh)  ABM = NCM (c.g.c)  AB = CN (hai cạnh tương ứng)

 …