Đề giao lưu HSG lớp 7 môn Toán năm 2017 2018 phòng GD ĐT Vĩnh Bảo Hải Phòng

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tính M =

2 2 1 1 0,4 0,25 2017 9 11 3 5 : . 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

                  

b) Tìm x, biết: 2017 x 2018 x 2019 x 2       . Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:

a b c b c a c a b c a b        

Hãy tính giá trị của biểu thức: b a c B 1 1 1 . a c b                

b) Cho hai đa thức: f(x) (x 1)(x 3)    và

3 2 g(x) x ax bx 3     Xác định hệ số a;bcủa đa thức g(x)biết nghiệm của đa thức f(x)cũng là nghiệm của đa thức g(x).

c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x y z xyz    . Câu 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.

a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK. Câu 4 (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC,  0 B=60 ). Hai tia phân giác AD (D BC  ) và CE (E AB  ) của ABC cắt nhau ở I. Chứng minh  IDE cân. Câu 5 (1,0 điểm)

Cho

2 2 2 2

n 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 S ... 1 2 3 n          ( với n N  và n >1)

Chứng minh rằng n S không là số nguyên.

----- Hết -----

Giám thị số 01 ( Kí, ghi rõ họ và tên)

Giám thị số 02 ( Kí, ghi rõ họ và tên)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐÁP ÁN: MÔN TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

a) Ta có:

2 2 1 1 0,4 0,25 2017 9 11 3 5 M : 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

                   

2 2 2 1 1 1

2017 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2018 5 9 11 6 8 10

                   

1 1 1 1 1 1 2 2017 5 9 11 3 4 5 : 1 1 1 7 1 1 1 2018 7 5 9 11 2 3 4 5

                                             

2 2 2017 : 0 7 7 2018         

0.25

0.5 0.25

b) Có 2018 x 0   và 2017 x 2019 x x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2        => 2017 x 2018 x 2019 x 2       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2017)(2019 – x) ≥ 0 và 2018 x  = 0 , suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 và x = 2018 x 2018   Vậy x = 2018.

0,25 0,25 0,25

0,25

Câu 2

a) Vì a, b,c là các số dương nên a b c 0    Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c                   

a b c b c a c a b 1 1 1 2 c a b          

a b b c c a 2 c a b       

Mà: b a c B 1 1 1 a c b                

a b c a b c B 8 a c b                  

Vậy: B 8 

0,25 0,25 0,25 0,25

b) HS biết tìm nghiệm của f(x) (x 1)(x 3)    = 0 x 1; x 3    Nghiệm của f(x) cũng là nghiệm của

3 2 g(x) x ax bx 3     nên:

0,25

Thay x 1  vào g(x) ta có: 1 a b 3 0     Thay x 3  vào g(x) ta có: 27 9a 3b 3 0      Từ đó HS biến đổi và tính được: a 3; b 1  

0,25 0,5

c) Vì x,y,z Z

  nên giả sử 1 x y z   

Theo bài ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 yz yx zx x x x x       

Suy ra:

2 x 3 x 1    Thay vào đầu bài ta có:

     

1 y z yz y yz 1 z 0

y 1 z 1 z 2 0

y 1 z 1 2

      

     

   

TH1: y 1 1 y 2

z 1 2 z 3

          

TH2: y 1 2 y 3 z 1 1 z 2           

(loại)

Vậy (x; y; z) = (1;2;3) và các hoán vị https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

I B

C

A

H

M

E F D

K

Q

P

a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi MD + ME không đổi (đpcm)

0,25 0,25 0,25 0,25 c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của …