Đề giao lưu HSG lớp 7 môn Toán năm 2018 2019 phòng GD ĐT Chí Linh Hải Dương

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 05 câu , 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 A = + + +...+ . 2 2.3 3.4 2017.2018

2) Cho hai đa thức: P(x) = x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3 và Q(x) = 3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x.

Biết rằng G(x) - 2x2 + Q(x) = P(x). Tìm đa thức G(x).

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Hãy chia số 213

70 thành ba phần tỉ lệ thuận với 3 5 ; 4; 5 2 .

2) Tìm các số x, y, z biết x 1 y 3 4   ; 2x = 3z và z + y – 3x = -10.

Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2 4 4 ( 1) ( 2) 3 P x y     . 2) Cho hàm số f(x) xác định với mọi  x R . Biết rằng với mọi 0 x  ta đều có

2 1 f (x) 2.f x x         . Tính f (2)?

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.

a) Chứng minh: BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh:   0 BAC ACN 180   .

c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số

2 2

2 2 AD +IE DI +AE .

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:

S = a b c d

a b c a b d b c d a c d           

có giá trị không phải là số tự nhiên.

- Hết -

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018- 2019

MÔN: TOÁN 7 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1 (2,0đ)

1 (1,0đ)

1 1 1 1 1 1 1 1 A = - ... 1 2 2 3 3 4 2017 2018        0,50

1 1 A = 1 2018  0,25

2017 A 2018  0,25

2 (1,0đ)

G(x) = P(x)-Q(x) +2x2 =(x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3) – (3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x) + 2x2 . 0,25

= 3x2 +2x+8 0,50 Vậy G(x) = 3x2 +2x+8. 0,25

2 (2,0đ)

1 (1,0đ)

Gọi 3 phần cần tìm lần lượt là x, y, z

Theo bài ra ta có x+y+z = 213

70

và x:y:z = 3 5 : 4: 5 2

0,25

hay x+y+z = 213

70

và x:y:z = 6 : 40 : 25

suy ra

213 x y z x + y + z 3 70 = = = = = 6 40 25 6 + 40 + 25 71 70

0,25

9 12 15 x ;y ;z 35 7 14     0,25

Vậy 3 phần cần tìm là 9 12 15 ; ; 35 7 14

0,25

2 (1,0đ)

Theo bài ra ta có x 1 y z 3 4 2   

và z + y – 3x = -10 suy ra

x 1 y z z (1 y) 3x 3 4 2 2 4 9         

0,25

z y 3x 1 10 1 1 11 11          

0,25

x 3;1 y 4;z 2      0,25 Vậy x 3;y 3;z 2    0,25

3 (2,0đ)

1 (1,0đ)

Ta có 2 2 2 2 2 0 1 1 ( 1) 1 1 x x x x x x      Dấu “=” xảy ra khi x = 0 0,25

2 2 2 4 4 0 2 2 ( 2) 2 16 y y y y y y        0,25

Dấu “=” xảy ra khi y = 0 => 1 16 3 20 P    0,25 Vậy GTNN của P bằng 20 khi x = 0; y = 0. 0,25

2 (1,0đ)

Với mọi 0 x  ta đều có 2 1 f(x)+2.f =x x      

nên:

+ Tại x = 2 ta có:  1 f 2 +2f =4 2      

(1)

0,25

+ Tại 2 1  x ta có:  1 1 1 1 f +2f 2 = => 2f +4f(2)= 2 4 2 2            

(2) 0,25

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có  -7 -7 3.f 2 = =>f(2)= 2 6 0,25

Vậy f(2) = 6

7  0,25

Nếu hs chỉ thiếu lập luận: Với mọi 0 x  ta đều có 2 1 f(x)+2.f =x x      

thì

trừ0,25 điểm

4 (3,0đ)

0,50

Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng (đến hết phần 2)

2 1

N

I

M

E

D

C B

A

0,25

a (0,75đ)

Chứng minh được   1 2 A = A (cùng phụ với góc BAC) 0,25

Chứng minh được ABD = AEC (c.g.c) 0,25 =>BD = CE (hai cạnh tương ứng) 0,25

b (1,0đ)

Chứng minh được CMN = BMA (c.g.c) 0,25

=> CN = AB và   ABC MCN  0,25 => AB // CN ( vì có hai góc so le trong bằng nhau) 0,25

=>   0 BAC ACN 180   ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) 0,25

c (0,75đ)

    DAE DAC BAE BAC    = 900 + 900 -  BAC = 1800 -  BAC (1)   0 ACN 180 BAC   (2)

Từ (1) và (2) =>   DAE ACN  Chứng minh được ADE = CAN (c.g.c)

0,25

Từ ADE = CAN =>   ADE CAN  ( hai góc tương ứng)

Mà   DAN CAN  = 900 nên   DAN ADE  = 900

=>   DAI ADI  = 900 =>   AID AIE  = 900

0,25