Đề thi thử HSG lần 2 lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Hiệp Hòa Bắc Giang

UBND HUYỆN HIỆP HÒA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LẦN 2

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm):

1) Thực hiện phép tính:

2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

        − − − + − −                  

2) Rút gọn biểu thức:

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 A − − = − +

3) Tìm x biết: ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − +

Câu 2 (4,0 điểm):

1) Cho , , a b c là ba số khác 0 thỏa mãn 2 b ac = . Chứng minh rằng

2 2

2 2 a b a b c c + = + .

2) Cho 2 1 1 1 ..... 4 9 1000 A = + + + . Chứng minh rằng A < 25. 36

Câu 3 (4,0 điểm):

1) Tìm số nguyên a để 2 3 a a + + chia hết cho 1 a + .

2) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn 2 2 2 1 x y − = .

Câu 4 (6,0 điểm):

1) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy

điểm E sao cho ME MA = .

a) Chứng minh / / AC BE .

b) Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng AC, K là một điểm trên đoạn thẳng EB sao cho

AI EK = . Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.

2) Cho tam giác ABC cân tại A có  0 20 BAC = . Vẽ tam giác đều BCD sao cho điểm D

nằm trong tam giác ABC. Tia phân giác của  ABD cắt AC tại M. Chứng minh AM BC = .

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho xyz =1. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 x y z A xy x yz y xz z = + + + + + + + + .

...............Đề gồm 01 trang...............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2022-2023

Môn thi: Toán 7

Câu Nội dung Điểm Câu 1 (5,0 điểm) 1)

2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

        − − − + − −                  

1 1 3 6. 1 1 : 9 3 3

2 4 2 : 3 3

2 6 4 : 3 3 3 8 3 . 2 3 4

   = + + − −       

   = + −       

   = + −        − = = −

0,5 0,5 0,5 0,5

2)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 A − − = − +

( ) ( ) ( )

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 9 3 9 3 3

12 4 10 3

12 6 9 3 3

2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 .3 5 .7 1 2

− − = − + − − = − +

( )

( )

10 3 12 4

12 6 9 3

2

5 .7 6 2 .3 .2 2 .3 5 .7 .9 5. 6 2 2 30 32 3 9 9 9 9

− = −

− − = − = − =

0,5 0,5 0,5

3) ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − +

1 4 16 2 3 5 5 5

1 4 14 3 5 5

x

x

⇒ − + = − +

⇒ − + = −

1 4 14 3 5 5 x ⇒ − + =

1 14 4 3 5 5 x ⇒ − = − 1 2 3 x ⇒ − =

1 2 3 x ⇒ − = hoặc 1 2 3 x − = −

1 2 3 x ⇒ = + hoặc 1 2 3 x = −+

7 3 x ⇒ = hoặc 5 3 x = −

Vậy 7 5 ; 3 3 x   ∈ −    

0,5 0,5 0,5

Câu 2 (4,0 điểm) 1) Ta có ( )

2 2 2 . . 1 a b a a a b a a b ac b c b b b c b c = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Mặt khác, từ

2 2 2 2

2 2 a b a b a b b c b c b c     = ⇒ = ⇒ =        

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 a b a b b c b c + = = +

Từ (1) và (2) suy ra

2 2

2 2 a b a b c c + = + (đpcm)

0,5 0,5 0,5 0,5

1 1 1 1 1 ..... 4 9 3.4 4.5 999.1000 1 1 1 1 4 9 3 1000 25 1 25 36 1000 36

< + + + + +

< + + −

< − <

A

A

A

Vậy A< 25 36

0,5 0,5 0,75 0,25

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Ta có : 2 3 a a + + chia hết cho 1 a + ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 a a a ⇒ + + +    

Vì a là số nguyên nên ( ) ( ) ( ) 1 1 2 a a a + + 

Từ (1) và (2) suy ra ( ) 3 1 a +  hay 1 a + là các ước của 3

Do đó { } { } 1 3; 1;1;3 4; 2;0;2 a a + ∈− − ⇒ ∈− −

Vậy { } 4; 2;0;2 a∈− − là các giá trị nguyên cần tìm.

0,5 0,5 0,5 0,5 2) Từ 2 2 2 1 x y − = suy ra ( ) 2 2 1 2 1 x y −= + Nếu x chia hết cho 3 mà x là số nguyên tố nên 3 x = Thay 3 x = vào (1) ta được:

2 2 2 8 4 2 y y y = ⇒ = ⇒ = (vì y là số nguyên tố) + Nếu x không chia hết cho 3 thì 2x chia cho 3 dư 1 nên 2 1 x − chia hết cho 3. Do đó từ (1) suy ra 2 2y chia hết cho 3 Mà ( ) 2;3 1 = nên 2 3 3 3 y y y ⇒ ⇒ =   (vì y là số nguyên tố)

Thay 3 y = vào (1) ta được 2 2 1 18 19 x x x Z −= ⇒ = ⇒ ∉ (loại) Vậy có duy nhất cặp số nguyên tố ( ) ,x y thỏa mãn đề bài là ( ) 3;2 .

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 4 (6,0 điểm)

M

K

I

E

C B

A