Đề giao lưu HSG lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Lang Chánh Thanh Hóa

UBND HUYỆN LANG CHÁNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2023

(Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)

a) Tính bằng cách hợp lí: A = 11 7 : 11 7 7 4 11 7 : 11 4 7 3       + − +       + −

b) Tính: 2022 2021 2020 2 2 2 ... 2 1 B = − − − − −

c) Tính giá trị của biểu thức ( )

30 7 13 27

10 7 17 20 2 5 2 5 C 2 .5 . 2 5 ⋅ + ⋅ = +

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm , , x y z biết 1 3 2 2 4 3 x y z − − − = = và 3 4 4 x y z − + = .

b) Cho , , a b c thỏa mãn 2022 ( )( ) ( )( ) ( )( ) b c c a a b a b a c b a b c c a c b − − − + + = − − − − − −

Tính giá trị biểu thức 1 1 1 Q a b b c c a = + + − − −

Bài 3:(4,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thoả mãn: 2 3 5 3 0 x xy y x + − − + = b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: 2 2 2 17 p q − = . Tính 4 ( ) 15 p q + + Bài 4:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc 60 A = ° ( góc B và góc C nhọn). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E . BD cắt CE tại I .Trên cạnh

BC lấy F sao cho BF BE = . Trên tia IF lấy M sao cho IM IB IC = + .

a) Tính góc  BIC và chứng minh ID IF = .

b) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều.

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC ∆ để D và E cách đều đường thẳng BC .

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: 3 2022 x z + = và 2 2023 x y + =

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 2 A x y z = + + + .

HẾT! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................. SBD............

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023

Câu Ý Nội dung36 Điểm Bài 1: 4đ

a). Tính bằng cách hợp lí: A = 11 7 : 11 7 7 4 11 7 : 11 4 7 3       + − +       + −

b) Tính: 2022 2021 2020 2 2 2 ... 2 1 S = − − − − −

c) Tính giá trị của biểu thức ( )

30 7 13 27

10 7 17 20 2 5 2 5 C 2 .5 . 2 5 ⋅ + ⋅ = +

4đ

a 1đ

a) A = 11 7 : 11 7 7 4 11 7 : 11 4 7 3       + − +       + − = 7 11 . 11 7 7 4 7 11 . 11 4 7 3       + − +       + −

= 7 11 . 11 7 7 4 11 4 7 3       + − + + − = 0. 7 11 = 0

Vậy A = 0

0,25 0,5 0,25 b 1,5đ

b) 2022 2021 2020 2 2 2 ... 2 1 S = − − − − − ( ) 2022 2021 2020 2 2 2 ... 2 1 S = − + + + +

Đặt 2021 2020 2 2 ... 2 1 P = + + + +

2022 2021 2020 2 2 2 2 ... 2 P = + + + + ( ) ( ) 2022 2021 2020 2021 2020 2 2 2 2 ... 2 2 2 ... 2 1 P P − = + + + + − + + + +

2022 2 2 1 P P − = −

2022 2 1 P = − Do đó: ( ) 2022 2022 2 2 1 1 S = − − =

Vậy 1 S =

0,5

0,5

0,25 0,25 c 1,5đ

c) Tính giá trị của biểu thức

( )

( ) ( )

30 7 13 27

10

7

7 17 20

13

10 7 17 20

13

7

10 7

20

3

1

7

. 2

8

2 5 2 5 C 2 .5 . 2 5

2 5

2 .5 . 2 5

2 5

5

2 .5 2

⋅ + ⋅ = +

⋅ =

⋅ =

=

+

+

=

36

0,5

0,5

0,25

0,25 Bài 2: 4đ

a) Tìm , , x y z biết 1 3 2 2 4 3 x y z − − − = = và 3 4 4 x y z − + = .

b) Cho , , a b c thỏa mãn 2022 ( )( ) ( )( ) ( )( ) b c c a a b a b a c b a b c c a c b − − − + + = − − − − − −

Tính giá trị biểu thức 1 1 1 Q a b b c c a = + + − − −

4đ

a 2đ

1 3 2 1 3 9 4 8 1 3 9 4 8 2 2 4 3 2 12 12 2 12 12 − − − − − − −− + + − = = = = = = = − + x y z x y z x y z

1 3 2 2 5; 2 11; 2 8 2 4 3 − − − = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = x y z x y z

Vậy 5; 11; 8 x y z = = =

0,75

0,75

0,5

b 2đ

2022 ( )( ) ( )( ) ( )( ) b c c a a b a b a c b a b c c a c b − − − + + = − − − − − −

( ) (c a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2022 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 2022

1 1 1 2 2022

b a c b a b a c b c a b a c b a b c c a c b

c a a b a b b c b c c a

a b b c c a

− − − − − − − − − ⇒ + + = − − − − − −

⇒ + + + + + = − − − − − −   ⇒ + + =   − − −  

Vậy 1 1 1 1011 a b b c c a + + = − − −

0,75

0,5 0,5

0,25

Bài 3: (4đ)

a) Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thoả mãn: 2 3 5 3 0 x xy y x + − − + =

b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: 2 2 2 17 p q − = . Tính

4 ( ) 15 p q + +

4đ

a 2đ

Ta có: 2 3 5 3 0 x xy y x + − − + =

Suy ra: 2 2 3 3 6 3 x xy x y x + − − − + =

( 2) 3( 2) 3 x x y x y ⇒ + − − + − …