Đề học sinh giỏi lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Ba Đồn Quảng Bình

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN TRƯỜNG THCS BA ĐỒN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7-NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm): Thực hiện các phép tính

a)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3 A − − = − + +

b) 2 2 2 2 1 1 1 1 B ( 1).( 1).( 1)...( 1) 2 3 4 2023 = − − − −

Câu 2 (2,0 điểm): Tìm x, y, z biết

a)

2 1 3 2 6 0 6 x y   − + − ≤    

b) 4 = 3 ;4 = 3 x y y z và 2x + y – z = -14

Câu 3 (1,5 điểm): Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B

là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp

7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7; 8; 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Câu 4 (1,0 điểm): Chứng minh rằng nếu 𝑝𝑝 là số nguyên tố lớn hơn 3 thì

(𝑝𝑝+ 1)(𝑝𝑝−1) chia hết cho 24.

Câu 5 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của

BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với

MD tại M cắt AC tại E.

a) Chứng minh: MD = ME.

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I.

Chứng minh I là trung điểm của DK.

c) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh SC ⊥ AK.

Ghi chú: + Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

TRƯỜNG THCS BA ĐỒN

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7

Câu Đáp án Điểm 1 a)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3 A − − = − + +

=

=

=

Vậy 7 A 2 =

0,25 0,25 0,25 0,25

b) 2 2 2 2 1 1 1 1 B ( 1).( 1).( 1)...( 1) 2 3 4 2023 = − − − −

2 2 2 2

2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 1 2023 . . ... 2 3 4 2023 − − − − = 2 2 2 2 3 8 15 4092528 . . ... 2 3 4 2023 − − − − =

2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 . . ... . . ... 2 3 4 2023 2 3 4 2023 = =

2 2 2 2 1.3 2.4 3.5 2022.2024 . . ... 2 3 4 2023 = 2 2 2 2 1.3.2.4.3.5....2022.2024 2 .3 .4 ...2023 =

(1.2.3.4.5....2022)(3.4.5....99.2024) (2.3.4.5....99.2023)(2.3.4.5....2023) = 1.2024 2023.2 = 1012 2023 =

Vậy 1012 B 2023 =

0,25 0,25 0,25 0,25

2

a) Vì

2 1 3 0 6 x   − ≥    

với x ∀; 2 6 0 y − ≥ ,y ∀ do đó:

2 1 3 2 6 0 , 6 x y x y   − + − ≥ ∀    

,

theo đề bài thì:

2 2 1 1 3 2 6 0 3 2 6 0 6 6 x y x y     − + − ≤ ⇒ − + − =        

.

Khi đó:

1 1 3 0 6 18 2 6 0 3

x x

y y

  − = =   ⇒     − = =  

0,25 0,25 0,25 0,25

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − − + + ( ) ( )

( ) ( )

12 4 10 3

12 5 9 3 2 .3 3 1 5 .7 1 7 2 .3 3 1 5 .7 1 8 − − − + +

( ) 10 3 12 4

12 5 9 3 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9

− −

1 10 7 6 3 2 − = − =

b) 4 3 3 4 9 12 x y x y x y = ⇒ = ⇒ = (1)

4 3 3 4 12 16 y z y z y z = ⇒ = ⇒ = (2)

Từ (1) và (2) 2 9 12 16 18 12 16 x y z x y z ⇒ = = ⇒ = =

Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có

⇔

2 2 14 1 18 12 16 18 12 16 14

1 9 9

1 12 12 16 1 16

x y z x y z

x

x y y

z z

+ − − = = = = = − + −  = −  = −    = −⇔ = −    = −   = − 

0,25 0,25 0,25 0,25

3 Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) ( * , , , 10 x y z N x ∈ > ). Theo bài ra ta có 85 x y + = (1) Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có:

10 10 7 8 9 x y z − + = = (2)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10 10 ( 10) 85 10 5 7 8 9 7 8 15 x y z x y − + − + − = = = = = +

Suy ra 45, 40, 35 x y z = = = (Thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh.

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

4 * Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta được = + p 3k 1 hoặc

= + p 3k 2 với k là số tự nhiên khác 0. + Nếu = + p 3k 1thì ( )( ) ( ) + = + p 1 p – 1 3k 2 .3k chia hết cho 3

+ Nếu = + p 3k 2 thì ( )( ) ( )( ) + = + + p 1 p – 1 3k 3 3k 1 chia hết cho 3

Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( )( ) + p 1 p – 1 chia hết cho 3

(1) Mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ. Suy ra

+ p 1và − p 1 là hai số chẵn liên tiếp Đặt = p …