Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Lớp 9 - Nguyễn Văn Anh

Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số

Nguyễn Văn Anh – Tổ Toán – Trường THCS Hoài Đức Trang 1

I) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC: a) Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  Phương pháp: -Cho A = f(x) có miền xác định là D . Để tìm GTLN hoặc GTNN của A ta có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết để chứng minh f(x) M hoặc f(x) ≥ m, từ đó suy ra GTLN hoặc GTNN của A. - Đây là phương pháp thường được sử dụng , bởi vì rất nhiều các bất đẳng thức học sinh được học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” được ứng dụng rộng rãi trong nhiều dạng loại toán , đặc biệt trong dạng toán tìm cực trị .Khi sử dụng các bất đẳng thức đã biết ta cần lưu ý các điều kiện để bất đẳng thức trở thành đẳng thức. *Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng :

Bất đẳng thức Cô-si và các hệ quả . Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki . Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ,...  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1 : Với a,b,c là các số dương, hãy tìm GTNN của biểu thức:

P=

(Thi HSG lớp 9 – huyện Phù Mỹ- năm học 2002-2003) Hướng dẫn: Thực hiện phép nhân các biểu thức ta được:

P=

Ta thấy các tổng và có dạng hóan vị vòng quanh và tích của các số hạng

bằng 1 do đó ta sử dụng BĐT Cô si để khử các biến, do đó:

P ≥  min P =  a=b=c

Ví dụ 2 : Cho 3x – 4y = 7 . Tìm GTNN của S = 3x2 + 4y2 Hướng dẫn : Khi tìm cực trị của các biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến , ta thường sử dụng hợp lý các BĐT đã biết để ghép điều kiện đó vào biểu thức cần tìm cực trị.

S = 3.x2 + 4. y2 =

3x – 4y =

Do đó ta áp dụng BĐT Bu nhi a côpxki cho các số : Giải : Theo BĐT Bu-nhi-a-cốpxki , ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

Vậy Min S = 7  x = 1 , y = -1 . Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x2007 + y2007 + z2007 = 3 .

Tìm GTLN của : E = x2 + y2 + z2 .



1 1 1 5 5 5 a b c b c a               

1 1 1 1 5 25 125 a b c a b c b c a c a b                    a b c b c a   a b c c a b  

1 1 1 216 1 .3 .3 5 25 125 125     216 125

2 2 ( 3. ) ( 2 ) x y 

3. 3. ( 2).2 x y 

3, 3. ,( 2),2 x y 

2 2 2 ( 3).( 3. ) ( 2).(2 ) (3 4)(3 4 ) x y x y         49 7 7 S S    

3. 2 1 2 3 1 3 4 7

x y x

y x y

              

DeThi.edu.vn

Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số

Nguyễn Văn Anh – Tổ Toán – Trường THCS Hoài Đức Trang 2

Hướng dẫn : Ta thấy x2 = , do đó để sử dụng được giả thiết x2007 + y2007 + z2007 = 3 , ta áp dụng BĐT Cô-si để hạ bậc biểu thức điều kiện và sử dụng quy tắc cộng các BĐT cùng chiều. Giải : Áp dụng BĐT Cô-si cho 2005số 1 và hai số x2007 , ta có :



Tương tự

E = x2 + y2 + z2

Vậy Max E = 3  x = y = z = 1 .

 Bài tập tham khảo:

 Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 . Tìm GTLN của A =

(Thi HSG lớp 9 – TP Hồ Chí Minh – năm học 2003-2004)

 Cho a , b , c ,x thoả

Tìm GTLN và GTNN của x ? b) Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẦN CÁC BIẾN VÀO TRONG CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG

 Phương pháp: - Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)2 ; (a  b  c)2, … và phương pháp tách các hạng tử , thêm- bớt các hạng tử để đưa dần các biến vào trong các bình phương của tổng, đưa biểu thức đã cho về dạng A2+B2+...+ m để suy ra GTNN hoặc -A2 -B2 -...+ M để suy ra GTLN của biểu thức.

- Phương pháp này thường được sử dụng để tìm cực trị của các đa thức bậc hai. Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý về điều kiện xảy ra đồng thời đối với các biến để A = 0, B = 0,.

 Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 1)2 + (x – 3)2

Hướng dẫn: A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = 2(x – 1)2 + 8 8 Vậy Min A = 8 <=> x = 1 Ví dụ2: Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1

Hướng dẫn: B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1

= - (x + y – 3)2 – 4(x – 1)2 – (y – 2)2 + 16 16 Vậy Max B = 16 <=> x= 1; y = 2. Ví dụ3: Tìm gia trị nhỏ nhất của C= x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy Hướng dẫn: C= x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz

= (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2

= (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ 0 Vậy Min C …