Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2 Số hữu tỉ - Số vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ

1. Lí thuyết:

+) Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng a

b ; với ; , 0 a b Z b   . Tập hợp các số hữu tỉ được kí

hiệu là Q .

+) Số vô tỉ là tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp số vô tỉ kí hiệu là I.

+) Nhận xét: .

-Một số thực bất kì nếu không là số hữu tỉ thì là số vô tỉ và ngược lại.

- Tổng, hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ( Số chia khác 0) là một số hữu tỉ.

-Tổng, hiệu, tích, thương của hai số vô tỉ không kết luận được là một số vô tỉ.

-Tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

+) Kiến thức bổ sung:

1/ Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì a là số vô tỉ.

Tổng quát: Nếu a là số nguyên dương mà a không là lũy thừa bậc n của bất kì số nguyên

dương nào khác thì n a là số vô tỉ( 2, n n  ¥ ).

2/ Cho hai số nguyên dương n và k ( 2, k k  ¥ ), nếu k n là số hữu tỉ thì n là lũy thừa bậc k

của một số nguyên dương.

* Đặc biệt: Nếu n là số nguyên dương, mà n là số hữu tỉ thì n là số chính phương.

2. Một số dạng bài tập

2.1. Chứng minh số hữu tỉ, số vô tỉ

Phương pháp giải :

Để chứng minh một số là số vô tỉ ta thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng

Ví dụ 1. Cho 3 số ,x y và x y  là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số

hữu tỉ

Lời giải:

DeThi.edu.vn

Đặt x y a   , x y b   (1) thì ,a b Q  .

a) Nếu 0 b  thì 0 x y   , do đó x , y Q  .

b) Nếu 0 b  thì x y a a x y Q b b x y       

(2).

Từ (1) và (2) suy ra:

1 a 1 a x b Q ; y b Q 2 b 2 b                   .

Ví dụ 2.(Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)

Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn   

2 2 2 a b 2 a b    +

2 (1 ab) 4ab  

Chứng minh 1 ab  là số hữu tỉ

Lời giải Ta có:

   

 

 

             

       

                      

2 2 2

4 2 2

2 2 2

2

(GT) a b 2(ab 1) (a b) 1 ab 0

a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) 0

a b (1 ab) 0 (a b) -(1 ab)=0

(a b) 1 ab a b 1 ab Q; do: a;b Q

Ví dụ 3. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn 2 x x  và 3x đều là các số hữu tỉ. Chứng minh x là số

hữu tỉ.

Lời giải Cách 1:

Ta có 2 x x  ¤ suy ra

2 2

2 4 2 4 x x x x           

¤ 2

2 4 x x   ¤ .

Cũng có 3x ¤ suy ra 3 8 x ¤ suy ra 3 2 3 2 8 2 4 2 x x x x x x               

¤

Do 2

2 4 x x  ¤ 2

2 4 2 x x   ¤ nên suy ra 2 x x  ¤ .

Vậy 2 2 2x x x x x                 

¤ suy ra x¤ (điều phải chứng minh)

DeThi.edu.vn

Cách 2:

Ta có: 2 x x  là số hữu tỉ

4 2

3

2 x x Q x   

Mà: 3 4 2 2 (1) x Q x x Q    

 

2 2 1 (2) x Q   

Ta lại có:    

2 2 2 2 2 2 ; 2 2 x Q x x Q x x Q x

      

   

2 2 3 2 2 2. 2 2 (3) x x x Q x Q x

      

Từ (2) và (3):     3 2 2 2 2 3 1 x x Q     

    3 2 2 1 3 1 1 x x Q     

   

  

3 2 2

2 2 2

1 3 1

1 1 3

x x Q

x x Q

    

          

2 2 1 2 x Q x Q    

Mà:  

2

2

2 2 2 . 2 x x Q x x Q x x       

2.2. Bài tập

Bài 1. Cho 0; , ,z 0 x y z x y     và , ,z Q x y  . C/m: 2 2 2 1 1 1 x y z   là số hữu tỉ

Bài 2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau

c/m:

2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) M a b b c c a      

là 1 số hữu tỉ

Bài 3. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 1 2 3 1 3 4 1 2019 2020          là số hữu tỉ

Bài 4. Cho 0, , , 0, 0 a b a b Q a b      c/m: 2 2 2 1 1 1 ( ) M Q a b a b     

DeThi.edu.vn